Exercícios Resolvidos de A Forma Complexa da Série de Fourier

Cálculo Avançado A – CEFET-RJ - Lista de exercício de série de Fourier - 20

Encontre a série complexa de Fourier de f t = e 3 t , se t 0,2 π ,   e f t + 2 π = f t ,   t   R .

Passo 1

Primeiro, repara que o período da função é 2 π , então:

P = 2 π 2 L = 2 π L = π

Para fazermos a série complexa precisamos achar a forma de f t entre - π e π .

f t = e 3 t + 2 π s e - π t < 0 e 3 t s e 0 t < π

f t = e 3 t e 6 π s e - π t < 0 e 3 t s e 0 t < π

Assim, encontramos a função entre - π e π .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos agora encontrar a Série complexa de Fourier de f , a fórmula é:

f t = n = - c n e j n π t L    

E a fórmula do coeficiente é:

c n = 1 2 L - L L f t e - j n π t L d t ,       n = 0 , ± 1 , ± 2

Assim, precisamos calcular os coeficientes para encontrarmos a série, então:

c n = 1 2 π - π π f t e - j n π t π d t

c n = 1 2 π - π π f t e - j n t d t

Assim, separando nos intervalos, temos:

c n = 1 2 π - π 0 e 3 t e 6 π e - j n t d t + 0 π e 3 t e - j n t d t

c n = 1 2 π e 3 - j n t + 6 π 3 - j n - π 0 + e 3 - j n t 3 - j n 0 π

c n = 1 2 π e 6 π 3 - j n - e j n π + 3 π 3 - j n + e 3 π - j n π 3 - j n - 1 3 - j n

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1 - e 3 π e j n π + e 3 π e - j n π

Calma, chegando nessa expressão, temos que realizar operações para reduzi-la.

Assim, vamos lembrar que:

e j π = - 1

Então

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1 - e 3 π - 1 n + e 3 π - 1 - n

Com isso, podemos cancelar as duas parcelas com o e 3 π . Assim, chegamos a:

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1

Mas lembrando que:

senh x = e x - e - x 2

Temos:

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1 = e 3 π e 3 π - e - 3 π 2 π 3 - j n = e 3 π senh 3 π π 3 - j n

Assim, chegamos a forma mais simplificada da série:

f t = n = - e 3 π senh 3 π π 3 - j n e j n t = senh 3 π n = - e 3 π + j n t π 3 - j n

Resposta

f t = senh 3 π n = - e 3 π + j n t π 3 - j n

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