Formas Bilineares

Teoria Completa

Introdução

Fala Aíííí?! Vamos aprender agora uma forma que pode nos ajudar a classificar as cônicas e as quádricas, beleza?!

Essa primeira parte vai ser um pouco chatinha, porém necessária para entendermos no futuro como podemos utilizar as formas bilineares para classificar as cônicas e as quádricas, tudo bem?!

Antes de mais nada precisamos entender aspectos teóricos e propriedades que serão úteis para nós!!

Definição

Uma forma bilinear é uma função f : U × V → R , onde U e V são espaços vetoriais, que obedecem às seguintes propriedades:

  1. f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )
  2. f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f ( u , v 2 )
  3. f λ u , v = λ f ( u , v )
  4. f u , λ v = λ f ( u , v )

Se você reparar essas propriedades são beeeem parecidas que as das transformações lineares, percebe? hehehehe

Agora, ao invés de provar todas essas propriedades, podemos simplificar juntando duas a duas. Então, para ser um pouco mais rápido, na maioria dos exercícios quando queremos provar que uma transformação e bilinear temos que provar que:

  1. f u 1 + λ u 2 , v = f u 1 , v + λ f ( u 2 , v )
  2. f u , v 1 + λ v 2 = f u , v 1 + λ f u , v 2

Vamos fazer um exemplo para ver como funciona na prática?

Exemplo

Provar que f : R 2 × R 2 → R , f u , v = x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 , onde u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) , é uma forma bilinear.

Basta provarmos as duas igualdades que acabamos de mostrar. A maior dificuldade aqui acaba sendo não se perder no meio de tantas variáveis, então preste muita atenção na hora da prova pra não perder ponto por besteira (acontece nas melhores famílias).

Passo 1 - Vamos provar que: f u + λ w , v = f u , v + λ f ( w , v )

Mudamos aqui o nome das variáveis pra facilitarmos as notações, já que agora faremos u = u 1 , u 2 ,     w = w 1 , w 2 e v = ( v 1 , v 2 ) . Então temos:

f u + λ w , v = f ( u 1 + λ w 1 , u 2 + λ w 2 , v 1 , v 2 )

Aplicando a fórmula da função:

f u + λ w , v = u 1 + λ w 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ w 2

f u + λ w , v = u 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ w 1 v 2 + 2 v 1 w 2

f u + λ w , v = f u , v + λ f ( w , v )

Passo 2 - Vamos provar que: f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Mantendo a mesma notação do passo anterior:

f u , v + λ w = f ( u 1 , u 2 , v 1 + λ w 1 , v 2 + λ w 2 )

Aplicando a fórmula da função:

f u , v + λ w = u 1 v 2 + λ w 2 + 2 v 1 + λ w 1 u 2

f u , v + λ w = u 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ u 1 w 2 + 2 w 1 u 2 = f u , v + λ f ( u , w )

f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Provamos as duas igualdades, portanto já temos que se trata de uma forma bilinear!!

De teoria só temos isso por enquanto mesmo. Se liguem nos exercícios pra ver como a aplicação da definição resolve todos eles rapidinho, ainda mais se pegarem a intuição do duas vezes linear.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = 2 x 1 y 1 - 3 x 1 y 2 + 4 x 2 y 1 + x 2 y 2 . Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0,1 } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 1,0 ) = 2
  • f 1,0 , 0,1 = - 3
  • f 0,1 , 1,0 = 4
  • f 0,1 , 0,1 = 1

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 2 - 3 4 1

Resposta

f C a n , C a n = 2 - 3 4 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = 5 x 1 y 1 - 2 y 2 + x 2 y 1 . Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0,1 } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 1,0 ) = 5
  • f 1,0 , 0,1 = - 2
  • f 0,1 , 1,0 = 1
  • f 0,1 , 0,1 = 0

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 5 - 2 1       0

Resposta

f C a n , C a n = 5 - 2 1       0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 , , x 3 ) , v = ( y 1 , y 2 , , y 3 ) e f u , v = 2 x 1 y 1 - 7 x 1 y 3 + 4 x 2 y 2 + 3 x 2 y 1 + x 3 y 1 Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 0 , 1,0 , 0 ) = 2
  • f 1,0 , 0 , 0,1 , 0 = 0
  • f ( 1,0 , 0 , ( 0,0 , 1 ) ) = - 7
  • f 0,1 , 0 , 1,0 , 0 = 3
  • f 0,1 , 0 , 0,1 , 0 = 4
  • f 0,1 , 0 , 0,0 , 1 = 0
  • f 0,0 , 1 , 1,0 , 0 = 1
  • f 0,0 , 1 , 0,1 , 0 = 0
  • f 0,0 , 1 , 0,0 , 1 = 0

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 2 0 - 7 3 4       0 1 0       0

Resposta

f C a n , C a n = 2 0 - 7 3 4       0 1 0       0

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Verifique se todo produto interno   , sobre um espaço vetorial V é uma forma bilinear   ,   : V × V → R

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Passo 1

A ideia aqui é verificar se todo produto interno é uma forma bilinear, precisamos então checar se toda função que obedece aos axiomas de produto interno também obedece aos axiomas de forma bilinear. Caso a resposta sim, a resposta é também positiva.

Assim, queremos sair de:

1.1   u , v =   v , u

1.2   λ u , v = λ   u , v

1.3   u + w , v =   u , v +   w , v

1.4   u , u > 0 , se u ≠ 0

1.5   u , u = 0 ⇔ u = 0

Para chegar em:

2.1 f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )

2.2 f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f u , v 2

2.3 f λ u , v = λ f ( u , v )

2.4 f u , λ v = λ f ( u , v )

Passo 2

Metade do trabalho já está feita. As propriedades 2.1 e 2.3 saem diretamente de 1.2 e 1.3. Para chegarmos em 2.2 e 2.4 usamos as mesmas equações “dadas” mas agora utilizando a simetria 1.1.

1.1   u , v + w = v + w , u

1.3   v + w , u = v , u + w , u

1.1   v , u + w , u = u , v + u , w

Logo:

u , v + w = u , v + u , w

O que equivale a 2.2.

Para chegarmos em 2.4, usamos a mesma estratégia:

1.1   u , λ v = λ v , u

1.2   λ v , u = λ v , u

1.1   λ v , u = λ u , v

Assim:

u , λ v = λ u , v

Que equivale a 2.4.

Assim concluímos que todo produto interno é uma forma bilinear.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Verifique se toda forma bilinear   ,   : V × V → R é um produto interno sobre V

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Passo 1

A ideia agora é verificar se toda função que obedece às propriedades de forma bilinear também cumpre os axiomas de produto interno, ou seja mostrar que podemos sair dessas propriedades:

2.1 f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )

2.2 f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f u , v 2

2.3 f λ u , v = λ f ( u , v )

2.4 f u , λ v = λ f ( u , v )

Para essas:

1.1   u , v =   v , u

1.2   λ u , v = λ   u , v

1.3   u + w , v =   u , v +   w , v

1.4   u , u > 0 , se u ≠ 0

1.5   u , u = 0 ⇔ u = 0

Passo 2

Vou adiantar pra vocês, a gente não vai fazer a mesma coisa aqui não. Isso porque a afirmação é falsa, mas é nossa tarefa mostrar isso.

O problema está no axioma 1.1, já que nem toda forma bilinear é simétrica. Essas são uma classe especial que serão mostradas depois, então não se desesperem haha.

O jeito mais fácil de mostrar que a afirmação é falsa é através de um contraexemplo, logo vamos procurar uma forma bilinear que não seja simétrica, ou seja, que não obedeça à relação 1.1.

Podemos pegar o exemplo da teoria. Se u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) , temos f u , v = x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 .

Vamos tomar u = ( 1,0 ) e v = ( 0,1 ) pra ver no que dá.

f u , v = 1.1 + 2.0 . 0 = 1

f v , u = 0.0 + 2.1 . 1 = 2

Logo:

f u , v ≠ f ( v , u )

O que contradiz o axioma 1.1. Achamos então uma forma bilinear que não é um produto interno, logo a afirmação é falsa.

Resposta

Exercício Resolvido #6

Callioli, C.A; Domingues, H.H. e Costa, R.C.F., Álgebra Linear e Aplicações, 4a. edição, São Paulo, Atual, 1983.

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Passo 1

Mais um exercício de provar coisas . Dessa vez temos que mostrar que algumas certas funções são formas bilineares, mais especificamente, se forem dadas f e g bilineares queremos mostrar que f + g e λ f são bilineares também.

Lembrando só que f + g é uma função tal que para todo x , temos que f + g x = f x + g ( x ) e do mesmo jeito λ f x = λ f ( x ) .

Então vamos ter que mostrar nossas velhas amigas:

  1. f u + λ w , v = f u , v + λ f ( w , v )
  2. f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Meio chato mas vamos lá.

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que f + g é bilinear.A eq. 1:

f + g u + λ w , v = f u + λ w , v + g u + λ w , v

Como f e g são bilineares, as relações 1 e 2, valem para elas separadamente, então:

f + g u + λ w , v = f u , v + λ f w , v + g u , v + λ g ( w , v )

f + g u + λ w , v = f + g u , v + λ ( f + g ) ( w , v )

Como queríamos.

Para a eq. 2 é a mesma coisa:

f + g u , v + λ w = f u , v + λ w + g ( u , v + λ w )

f + g u , v + λ w = f u , v + λ f u , w + g u , v + λ g ( u , w )

f + g u , v + λ w = f + g u , v + λ ( f + g ) ( u , w )

Pronto, já mostramos que as duas equações valem.

Passo 3

Agora vamos mostrar que λ f é bilinear, para não confundirmos as coisas vamos trocar o λ por k ok?

A eq.1:

k f u + λ w , v = k f u + λ w , v = k ( f u , v + λ f w , v )

Fazendo a didtributiva chegamos no que queremos:

k f u + λ w , v = k f u , v + λ ( k f ) ( w , v )

Do mesmo jeito:

k f u , v + λ w = k f u , v + λ w = k f u , v + λ f u , w = k f u , v + λ ( k f ) ( u , w )

Pronto

Resposta

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Seja f : U × V → R uma forma bilinear. Mostre que f u , 0 = 0 , ∀   u ∈ U .

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Passo 1

O enunciado é bem claro, só temos que usar as propriedades das formas bilineares para mostrar a igualdade

Passo 2

Vamos usar a propriedade da linearidade na segunda variável.

f u , v + w = f u , v + f ( u , w )

Logo temos que:

f u , 0 = f u , 0 + 0 = f u , 0 + f u , 0 = 2 f u , 0

f u , 0 = 2 f u , 0   ⇒   f u , 0 = 0

Pronto. Sacada interessante né.

Resposta

Exercício Resolvido #8

Callioli, C.A; Domingues, H.H. e Costa, R.C.F., Álgebra Linear e Aplicações, 4a. edição, São Paulo, Atual, 1983.

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Passo 1

Vamos só lembrar o que um conjunto W precisa pra ser um subespaço vetorial.

  • 0 ∈ W
  • Se v ∈ W , então λ v ∈ W
  • Se u e   v ∈ W , então u + v ∈ W

Queremos mostrar que isso vale para W = v ∈ V     f u 0 , v = 0 }

Passo 2

Já vimos em um exercício anterior que para qualquer forma bilinear f , f u , 0 = 0   ∀   u .

Então, 0 ∈ W , pois f u 0 , 0 = 0 certamente

Passo 3

Se u e   v ∈ W , usando as propriedades de uma forma bilinear f u 0 , u + v = f u 0 , v + f u 0 , v = 0 + 0 . Logo u + v ∈ W , pois f u 0 , u + v = 0

Passo 4

-

Se v ∈ W , usando as propriedades de uma forma bilinear f u 0 , λ v = λ f u 0 , v = λ . 0 = 0 .

Logo λ v ∈ W , e mostramos tudo o que queríamos

Resposta

Exercício Resolvido #9

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) . Determine se é forma bilinear:

  • f u , v = x 1 2 + y 1 2
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Passo 1

Vamos utilizar a mesma notação do exemplo da teoria. A ideia aqui é mostrar se valem as igualdades:

  1. f u + λ w , v = f u , v + λ f w , v
  2. f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Passo 2

Checamos se vale a equação 1:

f u + λ w , v = u 1 + λ w 1 2 + v 1 2 = u 1 2 + 2 λ u 1 w 1 + v 1 2

Mas:

f u , v + λ f w , v = u 1 2 + v 1 2 + λ ( w 1 2 + v 1 2 )

Logo não vale a equação 1.

Resposta

Como não vale a equação 1, nem precisamos checar a 2, a função não é uma forma bilinear.

Exercício Resolvido #10

U,uElaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = - x 1 y 1 + x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 + 4 x 2 y 2 Determine a matriz de f em relação à base B = { 1,2 , - 2,1 } e depois em relação à C = { 3,2 , 2 , - 3 } e mostre diretamente que as duas matrizes são congruentes

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Passo 1

A ideia agora é montar a matriz de f em relação a bases diferentes da canônica. Pra isso vamos usar a fórmula que vimos lá na teoria f B , C = I d C a n ← B T f C a n , C a n I d C a n ← C

Então, primeiro vamos achar a matriz na base canônica e depois usar as matrizes de mudança de base para achar as duas matrizes f B , B e f C , C .

Então temos que mostrar que f B , B e f C , C   são congruentes, isto é que existe uma matriz M tal que:

f B , B = M T f C , C M

Passo 2

A essa altura a matriz na base canônica é bem direta de se achar né. Mas detalhando o procedimento fica assim:

  • f 1,0 , 1,0 = - 1
  • f 1,0 , 0,1 = 1
  • f 0,1 , 1,0 = 2
  • f 0,1 , 0,1 = 4

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = - 1 1 2 4

Passo 3

Agora achamos a matriz de mudança de base I d C a n ← B . Lembrando que é só colocar os vetores de B na vertical ela fica assim:

I d C a n ← B = 1 - 2 2 1

Ainda:

I d C a n ← B T =       1 2 - 2 1

Jogando na fórmula vai ficar:

f B , B =       1 2 - 2 1 - 1 1 2 4 1 - 2 2 1 =     3 0 4 5 1 - 2 2 1

f B , B =     3 - 6 14 - 3

Passo 4

Agora achamos a matriz de mudança de base I d C a n ← C . Lembrando que é só colocar os vetores de C na vertical ela fica assim:

I d C a n ← C = 3 2 2 - 3

Ainda:

I d C a n ← C T =   3 2 2 - 3

Jogando na fórmula vai ficar:

f C , C =   3 2 2 - 3 - 1 1 2 4 3 2 2 - 3 =     1 11 - 8 - 10 3 2 2 - 3