Formas Bilineares

Teoria Completa

Introdução

Fala Aíííí?! Vamos aprender agora uma forma que pode nos ajudar a classificar as cônicas e as quádricas, beleza?!

Essa primeira parte vai ser um pouco chatinha, porém necessária para entendermos no futuro como podemos utilizar as formas bilineares para classificar as cônicas e as quádricas, tudo bem?!

Antes de mais nada precisamos entender aspectos teóricos e propriedades que serão úteis para nós!!

Definição

Uma forma bilinear é uma função f : U × V → R , onde U e V são espaços vetoriais, que obedecem às seguintes propriedades:

  1. f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )
  2. f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f ( u , v 2 )
  3. f λ u , v = λ f ( u , v )
  4. f u , λ v = λ f ( u , v )

Se você reparar essas propriedades são beeeem parecidas que as das transformações lineares, percebe? hehehehe

Agora, ao invés de provar todas essas propriedades, podemos simplificar juntando duas a duas. Então, para ser um pouco mais rápido, na maioria dos exercícios quando queremos provar que uma transformação e bilinear temos que provar que:

  1. f u 1 + λ u 2 , v = f u 1 , v + λ f ( u 2 , v )
  2. f u , v 1 + λ v 2 = f u , v 1 + λ f u , v 2

Vamos fazer um exemplo para ver como funciona na prática?

Exemplo

Provar que f : R 2 × R 2 → R , f u , v = x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 , onde u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) , é uma forma bilinear.

Basta provarmos as duas igualdades que acabamos de mostrar. A maior dificuldade aqui acaba sendo não se perder no meio de tantas variáveis, então preste muita atenção na hora da prova pra não perder ponto por besteira (acontece nas melhores famílias).

Passo 1 - Vamos provar que: f u + λ w , v = f u , v + λ f ( w , v )

Mudamos aqui o nome das variáveis pra facilitarmos as notações, já que agora faremos u = u 1 , u 2 ,     w = w 1 , w 2 e v = ( v 1 , v 2 ) . Então temos:

f u + λ w , v = f ( u 1 + λ w 1 , u 2 + λ w 2 , v 1 , v 2 )

Aplicando a fórmula da função:

f u + λ w , v = u 1 + λ w 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ w 2

f u + λ w , v = u 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ w 1 v 2 + 2 v 1 w 2

f u + λ w , v = f u , v + λ f ( w , v )

Passo 2 - Vamos provar que: f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Mantendo a mesma notação do passo anterior:

f u , v + λ w = f ( u 1 , u 2 , v 1 + λ w 1 , v 2 + λ w 2 )

Aplicando a fórmula da função:

f u , v + λ w = u 1 v 2 + λ w 2 + 2 v 1 + λ w 1 u 2

f u , v + λ w = u 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ u 1 w 2 + 2 w 1 u 2 = f u , v + λ f ( u , w )

f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Provamos as duas igualdades, portanto já temos que se trata de uma forma bilinear!!

De teoria só temos isso por enquanto mesmo. Se liguem nos exercícios pra ver como a aplicação da definição resolve todos eles rapidinho, ainda mais se pegarem a intuição do duas vezes linear.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = 2 x 1 y 1 - 3 x 1 y 2 + 4 x 2 y 1 + x 2 y 2 . Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0,1 } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 1,0 ) = 2
  • f 1,0 , 0,1 = - 3
  • f 0,1 , 1,0 = 4
  • f 0,1 , 0,1 = 1

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 2 - 3 4 1

Resposta

f C a n , C a n = 2 - 3 4 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = 5 x 1 y 1 - 2 y 2 + x 2 y 1 . Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0,1 } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 1,0 ) = 5
  • f 1,0 , 0,1 = - 2
  • f 0,1 , 1,0 = 1
  • f 0,1 , 0,1 = 0

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 5 - 2 1       0

Resposta

f C a n , C a n = 5 - 2 1       0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 , , x 3 ) , v = ( y 1 , y 2 , , y 3 ) e f u , v = 2 x 1 y 1 - 7 x 1 y 3 + 4 x 2 y 2 + 3 x 2 y 1 + x 3 y 1 Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 0 , 1,0 , 0 ) = 2
  • f 1,0 , 0 , 0,1 , 0 = 0
  • f ( 1,0 , 0 , ( 0,0 , 1 ) ) = - 7
  • f 0,1 , 0 , 1,0 , 0 = 3
  • f 0,1 , 0 , 0,1 , 0 = 4
  • f 0,1 , 0 , 0,0 , 1 = 0
  • f 0,0 , 1 , 1,0 , 0 = 1
  • f 0,0 , 1 , 0,1 , 0 = 0
  • f 0,0 , 1 , 0,0 , 1 = 0

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 2 0 - 7 3 4       0 1 0       0

Resposta

f C a n , C a n = 2 0 - 7 3 4       0 1 0       0

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Verifique se todo produto interno   , sobre um espaço vetorial V é uma forma bilinear   ,   : V × V → R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia aqui é verificar se todo produto interno é uma forma bilinear, precisamos então checar se toda função que obedece aos axiomas de produto interno também obedece aos axiomas de forma bilinear. Caso a resposta sim, a resposta é também positiva.

Assim, queremos sair de:

1.1   u , v =   v , u

1.2   λ u , v = λ   u , v

1.3   u + w , v =   u , v +   w , v

1.4   u , u > 0 , se u ≠ 0

1.5   u , u = 0 ⇔ u = 0

Para chegar em:

2.1 f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )

2.2 f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f u , v 2

2.3 f λ u , v = λ f ( u , v )