Formas Bilineares

Teoria Completa

Introdução

Eai pessoal, blz? Nós já batemos um bom papo sobre quádricas, mas...agora veremos essas lindinhas sobre um novo ponto de vista, tá bom?

Vamos começar falando de formas bilineares.

Já vou dizendo que aqui vamos tratar de funções com duas variáveis vetoriais. Tá ligado numa função f : R 2 → R , f x , y = x y . Aqui temos duas variáveis reais. Uma função de duas variáveis vetoriais é a mesma coisa, só que em vez de sair do R ² ela pode sair de dois espaços quaisquer tá ligado. Não se preocupa com isso que você vai ver que é bem simples.

Partindo do que já sabemos sobre transformações lineares e a intuição do que é mesmo a tal de linearidade, podemos entender uma forma bilinear como uma função de duas variáveis, sendo ela linear separadamente em cada uma uma delas. Ou seja, é uma função duas vezes linear.

Como assim duas vezes linear?!?!? Podemos entender isso enxergando a diferença entre uma forma linear e uma bilinear.

Seja f :   R 2 → R tal que f 1,1 = 1

Se f é linear temos que f 2,2 = 2 f 1,1 = 2 .

Agora, se vermos f como uma forma bilinear, temos que f 2,2 = 2 f ( 2,1 ) , já que f é linear na segunda variável. Da mesma forma f 2,1 = 2 f 1,1 = 2 , já que f também é linear na primeira variável. Logo, f 2,2 = 4 .

Enxergaram a diferença?

Definição

Como na sua prova você não vai poder colocar simplesmente que é uma função linear duas vezes, vamos ver agora como o seu professor quer que você defina uma forma bilinear

Uma forma bilinear é uma função f : U × V → R , onde U e V são espaços vetoriais, que obedecem às seguintes propriedades:

  1. f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )
  2. f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f ( u , v 2 )
  3. f λ u , v = λ f ( u , v )
  4. f u , λ v = λ f ( u , v )

A partir daqui acabou o segredo, tudo funciona do mesmo jeito que com as transformações lineares na hora de provar (AAAAAA) que uma função bilinear. Pra esse tipo de exercício, que aparece muito nas provas por aí, basta mostrar essas igualdades aqui que é um pouquinho mais rápido:

  1. f u 1 + λ u 2 , v = f u 1 , v + λ f ( u 2 , v )
  2. f u , v 1 + λ v 2 = f u , v 1 + λ f u , v 2

Pra vocês verem como as coisas funcionam vai um exemplo: provar que f : R 2 × R 2 → R , f u , v = x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 , onde u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) , é uma forma bilinear. Basta provarmos as duas igualdades que acabamos de mostrar. A maior dificuldade aqui acaba sendo não se perder no meio de tantas variáveis, então preste muita atenção na hora da prova pra não perder ponto por besteira (acontece nas melhores famílias).

Passo 1: f u + λ w , v = f u , v + λ f ( w , v )

Mudamos aqui o nome das variáveis pra facilitarmos as notações, já que agora faremos u = u 1 , u 2 ,     w = w 1 , w 2 e v = ( v 1 , v 2 ) . Então temos:

f u + λ w , v = f ( u 1 + λ w 1 , u 2 + λ w 2 , v 1 , v 2 )

Aplicando a fórmula da função:

f u + λ w , v = u 1 + λ w 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ w 2

f u + λ w , v = u 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ w 1 v 2 + 2 v 1 w 2 = f u , v + λ f ( w , v )

Passo 2: f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Mantendo a mesma notação do passo anterior:

f u , v + λ w = f ( u 1 , u 2 , v 1 + λ w 1 , v 2 + λ w 2 )

Aplicando a fórmula da função:

f u , v + λ w = u 1 v 2 + λ w 2 + 2 v 1 + λ w 1 u 2

f u , v + λ w = u 1 v 2 + 2 v 1 u 2 + λ u 1 w 2 + 2 w 1 u 2 = f u , v + λ f ( u , w )

Provamos as duas igualdades, portanto já temos que se trata de uma forma bilinear. Fácil, né.

De teoria só temos isso por enquanto mesmo. Se liguem nos exercícios pra ver como a aplicação da definição resolve todos eles rapidinho, ainda mais se pegarem a intuição do duas vezes linear.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = 2 x 1 y 1 - 3 x 1 y 2 + 4 x 2 y 1 + x 2 y 2 . Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0,1 } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 1,0 ) = 2
  • f 1,0 , 0,1 = - 3
  • f 0,1 , 1,0 = 4
  • f 0,1 , 0,1 = 1

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 2 - 3 4 1

Resposta

f C a n , C a n = 2 - 3 4 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = 5 x 1 y 1 - 2 y 2 + x 2 y 1 . Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0,1 } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 1,0 ) = 5
  • f 1,0 , 0,1 = - 2
  • f 0,1 , 1,0 = 1
  • f 0,1 , 0,1 = 0

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 5 - 2 1       0

Resposta

f C a n , C a n = 5 - 2 1       0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Sejam u = ( x 1 , x 2 , , x 3 ) , v = ( y 1 , y 2 , , y 3 ) e f u , v = 2 x 1 y 1 - 7 x 1 y 3 + 4 x 2 y 2 + 3 x 2 y 1 + x 3 y 1 Determine a matriz de f em relação à base canônica do R 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de f em relação à base { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } .

Passo 2

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os f ' s dos vetores da base. Então:

  • f ( 1,0 , 0 , 1,0 , 0 ) = 2
  • f 1,0 , 0 , 0,1 , 0 = 0
  • f ( 1,0 , 0 , ( 0,0 , 1 ) ) = - 7
  • f 0,1 , 0 , 1,0 , 0 = 3
  • f 0,1 , 0 , 0,1 , 0 = 4
  • f 0,1 , 0 , 0,0 , 1 = 0
  • f 0,0 , 1 , 1,0 , 0 = 1
  • f 0,0 , 1 , 0,1 , 0 = 0
  • f 0,0 , 1 , 0,0 , 1 = 0

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = 2 0 - 7 3 4       0 1 0       0

Resposta

f C a n , C a n = 2 0 - 7 3 4       0 1 0       0

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Verifique se todo produto interno   , sobre um espaço vetorial V é uma forma bilinear   ,   : V × V → R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia aqui é verificar se todo produto interno é uma forma bilinear, precisamos então checar se toda função que obedece aos axiomas de produto interno também obedece aos axiomas de forma bilinear. Caso a resposta sim, a resposta é também positiva.

Assim, queremos sair de:

1.1   u , v =   v , u

1.2   λ u , v = λ   u , v

1.3   u + w , v =   u , v +   w , v

1.4   u , u > 0 , se u ≠ 0

1.5   u , u = 0 ⇔ u = 0

Para chegar em:

2.1 f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )

2.2 f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f u , v 2

2.3 f λ u , v = λ f ( u , v )

2.4 f u , λ v = λ f ( u , v )

Passo 2

Metade do trabalho já está feita. As propriedades 2.1 e 2.3 saem diretamente de 1.2 e 1.3. Para chegarmos em 2.2 e 2.4 usamos as mesmas equações “dadas” mas agora utilizando a simetria 1.1.

1.1   u , v + w = v + w , u