Introdução às EDO's

Teoria Completa

O que é uma E.D.O?

Olá galera, tudo bem?

Vamos começar um novo assunto: as Equações Diferenciais Ordinárias. Tenho que avisar que esse material não é adequado para uma cadeira de EDO’s, as quais muitas universidades possuem. Esse material foi feito tendo em vista a pequena parte do assunto das EDO’s que é muitas vezes abordada em cursos de Álgebra Linear. Vamos lá.

Uma Equação Diferencial Ordinária (daqui pra frente só vou usar a sigla EDO) é uma coisa tipo essa:

f ' x = f x 2 - e x

Ou essa aqui:

y ' ' + y y ' = 0

Em geral, uma EDO é uma equação em que nos é dada a n -ésima derivada de uma função em termos das derivadas anteriores e da variável independente x . Em linguagem matemática:

y n = f ( y n - 1 , y n - 2 ,   , y , x )

Obs: Não confunda y n com y n . y n é a n -ésima derivada da função y e y n é sua n -ésima potência. Nesse caso, onde n é a maior derivada na equação, dizemos que se trata de um EDO de ordem n .

Agora vou dar uma realidade dura: nem você, nem eu, nem o melhor matemático do mundo ( Terence Tao se você tiver curiosidade haha) vai conseguir resolver 99.9999999% dessas equações, afinal, nós definimos elas de uma forma bem geral. Mas se nós tomarmos alguns tipos de funções f , a coisa fica bem mais fácil.

Um tipo de EDO bem importante é a linear, tipo a nossa querida Alg. Lin. Uma EDO linear, que daqui pra frente vamos chamar de EDOL, é algo parecido com isso:

y ' + 2 x y - x 2 = 0

Ou essa:

e x y ' ' + y x - ln x = 0

Em geral, uma EDOL é uma equação do tipo:

a n x y n + a n - 1 x y n - 1 + + a 1 x y ' + a 0 x y + r x = 0

Ou seja uma equação linear em y e suas derivadas.

Teorema de Existência e Unicidade

Seja uma EDO do tipo:

a 1 x y ' + a 0 x y + r x = 0

Em geral, vamos poder achar uma infinidade de funções y que satisfaça a equação. Então, o que é achar a solução de uma EDO??

Ora, vamos dizer que qualquer coisa do tipo:

e x + C x ²

Onde C   é uma constante arbitrária, satisfaça a equação e nada diferente disso satisfaça. Isso se trata da solução geral da EDO. Variando o   C podemos chegar em todas as funções que satisfazem a equação.

Se for uma EDOL de ordem 2:

a 2 x y ' ' + a 1 x y ' + a 0 x y + r x = 0

A solução geral pode ser algo do tipo:

C 1 x 3 + C 2 x e x

Ou seja, teremos duas constantes arbitrárias. Em geral, se a EDO é de ordem n , teremos n constantes a determinar.

Pra ajudar-nos a chegar nesse raciocínio, temos o teorema mais importante da teoria de EDO’s: o Teorema de Existência e Unicidade. Não vamos tratar dele muito formalmente, mas ele diz algo mais ou menos assim.

Se temos uma EDO de ordem n e:

y n - 1 x 0 = k n - 1   y n - 2 x 0 = k n - 2 y x 0 = k 0    

Então existe uma única função que satisfaça a EDO e as n equações acima. Isso faz sentido, já que se temos n constantes a determinar, deveremos ter n equações.

Não se assuste muito com esse teorema não tá, eu sei que ele é bem difícil, mas ninguém vai te dar uma questão que cobre ele de uma forma pesada. Temos que dar uma olhada só porque ele justifica todas as coisas que fazemos nas EDO’s.

Resolvendo algumas EDOL’s

Agora que a gente já ta manjando um pouco da teoria, vamos aprender a resolver algumas EDO’s!!!

Calma aí cara! Como eu disse, esse não é um material para um curso de EDO’s, então a gente só vai aprender aqui a resolver um tipo MUITO específico de EDO’s. Tratam-se das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de 1ª Ordem com Coeficientes Constantes (ufa).Elas são nada mais que uma EDOL de 1ª ordem tal que:

a 1 x = k 1 a 0 x = k 0 r x = 0

Basicamente, é algo parecido com isso:

2 y ' - 3 y = 0

Viu que o nome enorme era só pra te assustar mesmo haha. Vamos tentar resolver:

2 y ' = 3 y

2 d y d x = 3 y

Agora, vamos passar o d x   multiplicando. Sim, eu sei que isso não é uma coisa que os matemáticos gostam de fazer, mas relaxa assim tudo fica bem mais fácil e não tem nada de errado nisso não.

2 d y y = 3 d x

Integramos dos dois lados:

2 y d y = 3   d x

2 ln y = 3 x + C

y 2 = e 3 x + C = e 3 x e C

Como C é uma constante arbitrária podemos fazer assim:

e C = C

Ahn???? Calma aí amigo, o que a gente fez aqui foi trocar a constante mas mantendo o símbolo, é uma coisa que fazemos bastante na resolução de EDO’s. Podemos fazer isso já que o C original é completamente arbitrário.

y 2 = C e 3 x

y = C e 3 x 2

Pronto, achamos a solução geral da equação!! Pra resolver o nosso tipo de EDO fazemos sempre esse mesmo procedimento. Agora bora pros exercícios pra treinarmos um pouco esses conceitos que acabamos de aprender.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Introdução às EDO’s

Determine se a equação à seguir se trata de uma EDOL:

x 2 y ' ' ' + e x y ' ' + y ' x = log 2 ( x + 3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos nos lembrar que uma EDOL é qualquer coisa do tipo:

a n x y n + a n - 1 x y n - 1 + + a 1 x y ' + a 0 x y + r x = 0

Passo 2

Nesse caso teremos:

a 3 = x 2

a 2 = e x

a 1 = 1 x

a 0 = 0

r = - log 2 ( x + 3 )

Todos funções somente de x . Logo trata-se de uma EDOL!!

Resposta

Sim, é uma EDOL!!

Exercício Resolvido #2

Introdução às EDO’s

Determine se a equação à seguir se trata de uma EDOL homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + 2 y ' - 3 y = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos nos lembrar que uma EDOL é qualquer coisa do tipo:

a n x y n + a n - 1 x y n - 1 + + a 1 x y ' + a 0 x y + r x = 0

Para termos uma EDOL homogênea com coeficientes constantes, devemos ter a n , a n - 1 , , a 0 todos constantes e r = 0 .

Passo 2

Nesse caso teremos:

r = - x 0

Logo não se trata de uma EDOL homogênea com coeficientes constantes

Resposta

Não é uma EDOL homogênea com coeficientes constantes.

Exercício Resolvido #3

Introdução às EDO’s

Resolva a Edol EDOL homogênea com coeficientes constantes de 1ª ordem:

y ' + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar que o truque aqui é fazer y ' = d y d x e passar o d x multiplicando

Passo 2

d y d x = - y

d y y = -   d x

d y y = - d x

ln | y | = - x + C

y = C e - x

y = C e - x

Resposta

y = C e - x

Exercício Resolvido #4

Introdução às EDO’s

Resolva a Edol EDOL homogênea com coeficientes constantes de 1ª ordem:

y ' 2 - 2 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar que o truque aqui é fazer y ' = d y d x e passar o d x multiplicando

Passo 2

1 2 d y d x = 2 y

d y y = 4 d x

d y y = 4 d x

ln | y | = 4 x + C

y = C e 4 x

y = C e 4 x

Resposta

y = C e 4 x

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