Forma Canônica de Jordan

Teoria Completa

Olá, tudo bem?

Neste capitulo vamos aprender sobre a forma Canônica de Jordan. Ela é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal.

Mas, antes de vermos como funciona a forma de Jordan, vamos falar sobre como encontrar o polinômio mínimo de uma matriz. Ele será útil na hora de encontrarmos a Forma de Jordan.

Polinômio Mínimo

Vamos ver como encontrar o polinômio mínimo de uma matriz através de um exemplo pra ficar mais claro:

Seja T : R 3 → R 3 dado por T x , y , z = ( 2 x + y + z ,   2 x + y - 2 z , - x - 2 z ) . Então,

A = T c =   2 1 1 2 1 - 2 - 1 0 - 2

onde c é a base canônica de R 3 . Vamos encontrar o polinômio mínimo desta matriz.

Antes de encontrarmos o polinômio mínimo, precisamos encontrar o polinômio característico dela.

p a λ = det ⁡ A - λ I

Ou seja,

p a λ = d e t 2 1 1 2 1 - 2 - 1 0 - 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Fazendo a subtração das matrizes, temos

p a λ = d e t λ - 2 - 1 - 1 - 2 λ - 1 2 1 0 λ + 2 = ( λ + 1 ) 2 ( λ - 3 )

Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:

λ + 1 ( λ - 3 ) ou ( λ + 1 ) 2 ( λ - 3 )

Então só falta verificar quais dessas duas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, usaremos: m A A = 0 . Isso sempre deverá valer para o polinômio mínimo!

Vamos então verificar primeiro se λ + 1 λ - 3 é o polinômio mínimo.

A + I A - 3 I = 3 1 1 2 2 - 2 - 1 0 - 1 - 1 1 1 2 - 2 - 2 - 1 0 - 5 = - 2

Não importa os valores das outras entradas, essa matriz não é nula. Logo, λ + 1 λ - 3 não é o polinômio mínimo.

Portanto, o polinômio mínimo de A é

m A A = λ + 1 2 λ - 3 =   p a λ .

Beleza?! Agora vamos ver como funciona a forma de Jordan?

Forma de Jordan para matrizes 3x3

Vamos usar o operador

T : R 3 →   R 3

Onde conhecemos

e 1   ↦ T e 1  

e 2   ↦ T e 2  

e 3   ↦ T e 3  

E a matriz associada vai ser uma matriz 3x3 que vamos chamar de A . Beleza?

Aí digamos que fizemos todo aquele processo de diagonalizar para tentar melhorar o operador e tals, aquele processinho chatinho mas necessário e chegamos nisso aqui:

det ⁡ A - λ I = 0

Que possui uma raíz tripla que vamos chamar de λ .

No caso ideal pra gente, se A fosse diagonalizável teríamos que a matriz A seria semelhante a uma matriz diagonal:

A   ~   λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Mas isso para nossa tristeza nem sempre acontece. É aí que entra a tão esperada forma de Jordan! Nós vamos trabalhar com outros 2 casos possíveis:

Caso 1: A   ~   λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ

Caso 2: A   ~   λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ

A forma de demonstrar como chegar nessas duas matrizes é beeem complicadinha, então é só confiar que, nos casos mais simples, a matriz A vai ser semelhante a uma dessas duas matrizes, beleza?

Vamos ver então o que acontece a nível operador pra tentar entender um pouco melhor essa bagaça.

Sabemos que existe uma base β = v 1 , v 2 , v 3 , onde v 1 , v 2 , v 3 são:

v 1 ↦ ( 1,0 , 0 )

v 2 ↦ ( 0,1 , 0 )

v 3 ↦ ( 0,0 , 1 )

Agora vamos analisar os dois casos:

Caso 1:   A   ~   λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ

Estamos usando o operador

T : R 3 →   R 3

Então vamos ter:

T v 1 =   λ v 1

T v 2 =   λ v 2

T v 3 =   v 2 + λ v 3

Caso 2: A   ~   λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ

Como estamos usando o operador

T : R 3 →   R 3

Então vamos ter:

T v 1 =   λ v 1

T v 2 =   v 1 + λ v 2

T v 3 =   v 2 + λ v 3

A pergunta que vale agora é: Como saber qual dos dois casos utilizar?

A ideia é a seguinte: Quando procuramos os autovalores nós encontramos λ com raíz de multiplicidade 3, beleza? Ao encontrar os autovetores vamos ter 3 possíveis soluções: ou 3 vetores L.I., ou 2 vetores L.I ou somente 1 vetor L.I. Então:

Se encontrarmos somente 1 vetor L.I, vamos ter o caso 2.

Se encontrarmos 2 vetores L.I., teremos o caso 1.

Se os 3 vetores forem L.I. a matriz A será igual a matriz diagonal.

Ai o resto vai ser operação, as continhas que tanto amamos ahah.

Belezinha?

Forma de Jordan para matriz 2x2

Com as matrizes 2x2 teremos algo bem parecido com a 3x3, porém o operador que estaremos utilizando é

T : R 2 →   R 2

Se A fosse diagonalizável teríamos que a matriz A seria semelhante a uma matriz diagonal:

A   ~ λ 0 0 λ  

Mas, como nada é perfeito, isso quase nunca acontece. Então, aí que entra a Forma de Jordan!

O que ela diz? Ela vai garantir que a matriz A vai ser semelhante a matriz abaixo:

A   ~ λ 1 0 λ

De resto vai ser tudo bem parecido, e até mais simples, do que o caso 3x3. É só cair pra dentro dos exercícios e praticar muito!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Álgebra Linear II – Capitulo 9: Polinômio Mínimo e Operadores Nilpotentes

Seja T : R 3 → R 3 dado por T x , y , z = ( 2 x + y + z ,   2 x + y - 2 z , - x - 2 z ) . Então,

A = T c =   2 1 1 2 1 - 2 - 1 0 - 2

onde c é a base canônica de R 3 . Encontre o polinômio mínimo desta matriz.

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Passo 1

Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.

p a λ = det ⁡ A - λ I

Ou seja,

p a λ = d e t 2 1 1 2 1 - 2 - 1 0 - 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Fazendo a subtração das matrizes, temos

p a λ = d e t λ - 2 - 1 - 1 - 2 λ - 1 2 1 0 λ + 2 = ( λ + 1 ) 2 ( λ - 3 )

Passo 2

Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:

λ + 1 ( λ - 3 ) ou ( λ + 1 ) 2 ( λ - 3 )

Então só falta verificar quais dessas duas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que m A A = 0 .

Vamos então verificar primeiro se λ + 1 λ - 3 é o polinômio mínimo.

A + I A - 3 I = 3 1 1 2 2 - 2 - 1 0 - 1 - 1 1 1 2 - 2 - 2 - 1 0 - 5 = - 2

Não importa os valores das outras entradas, essa matriz não é nula. Logo, λ + 1 λ - 3 não é o polinômio mínimo.

Portanto, o polinômio mínimo de A é

m A A = λ + 1 2 λ - 3 =   p a λ

Resposta

Exercício Resolvido #2

Álgebra Linear II – Capitulo 9: Polinômio Mínimo e Operadores Nilpotentes

Seja

A =   2 1 1 - 2 - 1 - 2 1 1 2

Encontre o polinômio mínimo desta matriz.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.

p a λ = det ⁡ A - λ I

Ou seja,

p a λ = d e t 2 1 1 - 2 - 1 - 2 1 1 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Fazendo a subtração das matrizes, temos

p a λ = d e t λ - 2 - 1 - 1 2 λ + 1 2 - 1 0 λ - 2 = ( λ - 1 ) 3

Passo 2

Agora que já encontramos os polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:

λ - 1 , ( λ - 1 ) 2 ou ( λ - 1 ) 3

Então só falta verificar quais dessas três possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que m A A = 0 .

Vamos então verificar primeiro se λ - 1 é o polinômio mínimo.

A - I = 1 1 1 - 2 - 2 - 2 1 1 1

Então a matriz não é nula. Logo, λ - 1 não é polinômio mínimo.

Agora, vamos verificar se ( λ - 1 ) 2 é o polinômio mínimo.

A - I = 1 1 1 - 2 - 2 - 2 1 1 1 1 1 1 - 2 - 2 - 2 1 1 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0  

Portanto, ( λ - 1 ) 2   é o polinômio mínimo de A .

m A A = ( λ - 1 ) 2

Resposta

Exercício Resolvido #3

Álgebra Linear II – Capitulo 9: Polinômio Mínimo e Operadores Nilpotentes

Seja

Encontre o polinômio mínimo desta matriz.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.

p a x = det ⁡ A - x I

Fazendo as continhas vamos ter que o polinômio característico da matriz A é dado por

Passo 2

Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:

Então só falta verificar quais dessas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que m A A = 0 .

Ao verificar primeiro se x + 1 3 x + 4 é o polinômio mínimo, temos

A + I 3 A + 4 I = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Então a matriz é nula. Logo, x + 1 3 x + 4 é polinômio mínimo.

m A A = x + 1 3 x + 4

Resposta

Exercício Resolvido #4

UFJF - Prova de Álgebra Linear — Turma A — 29/05/2012

Escreva as possíveis formas canônicas de Jordan do operador T cujo polinômio característico é p x = ( x - 3 ) 5 ( x - 2 ) 4 e cujo polinômio minimal é m x = ( x - 3 ) 2 ( x - 2 ) 2 .

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Passo 1

Bom, de cara conseguimos reparar que os autovalores são 3 e 2, com multiplicidade 5 e 4, respectivamente.

Então, a matriz deve ter 5 entradas 3 e 4 entradas 2 na diagonal.

Além disso, ambos os autovalores são elevados a 2 no polinômio minimal. Então o bloco elementar de maior ordem de ambos os autovalores deve ter ordem 2.

Ficamos, então, com as seguintes possibilidades: