S.E.D.O.L's

Teoria Completa

Nossos S.E.D.O.L’s

Agora que já estamos ligados nas EDOL’s, bora pros SEDOL’s (o S é de sistema). Um SEDOL é algo parecido com isso aqui:

3 t 2 z ' ' + 2 z ' - ( ln ⁡ t ) y = 0 t y ' ' ' + t 2 y ' - 2 z = 4 t

Ou seja um sistema formado por EDO’s lineares em cada uma das funções y e z . Mas de novo galera, vamos trabalhar com casos bem específicos aqui na Álgebra Linear. Nosso tema de estudo vai ser então algo do tipo:

2 z ' - y = 0   y ' - 2 z = 0

Ou seja, não vamos termos independentes na equação (funções de t separadas das funções incógnitas) e teremos somente coeficientes constantes. Logo, SEDOL’s homogêneas com coeficientes constantes. Vamos chamar de SEDOLH’s por simplicidade.

Vamos ver que podemos escrever os SEDOLH’s em uma forma matricial. Reagrupando as equações temos:

y ' = 2 z z ' = y 2  

Vamos definir uma matriz coluna que tem funções como entradas. Não se assuste não, tudo acontece como se tivéssemos números nas matrizes, como estamos acostumados.

X t = y t z ( t )

Formalmente, aqui nós temos nada mais que uma função X : R → R 2 . Então não tem nada de novo aqui. A derivada de X é definida de forma bem intuitiva:

X ' = y ' z '

Sendo:

A = 0 2 1 2 0

Teremos:

X ' t = A X ( t )

Essa notação vai deixar tudo mais simples, afinal ela é bem parecida com a expressão das nossas velhas transformações lineares.

Agora, antes de aprendermos como resolver essas equações, vamos ver o que é resolvê-las.

Seja uma SEDOLH:

X ' t = A X ( t )

E suponhamos que :

X 1 = t 3 - t         X 2 = t t       X 3 = 2 t 3 - 2 t

São soluções da equação. Teremos que toda solução do sistema pode ser expressa como:

X = c 1 X 1 + c 2 X 2

Onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias. Mas haverá soluções do sistema que não poderão ser escritas na forma:

X = c 1 X 1 + c 3 X 3

Isso porque temos:

det [ X 1   X 2 ] ⁡ = t ³ t - t t = t 4 + t 2 ≠ 0

Mas:

det ⁡ [ X 1   X 3 ] = t 3 2 t 3 - t - 2 t = - 2 t 4 + 2 t 4 = 0

Esses determinantes que nós calculamos aqui são chamados de wronskianos. Eta nome feio.

Vamos abstrair essa parada com um belíssimo teorema.

Seja uma SEDOLH:

X ' = A X

Com dim ⁡ X = n . Se X 1 , X 2 , … , X n são soluções da equação e:

W X 1 , X 2 , … , X n = det ⁡ [ X 1   X 2   …     X n ] ≠ 0

Temos que { X 1 , X 2 , … , X n } é base do conjunto de soluções da equação. Essa base também é chamada de conjunto fundamental de soluções.

Resolvendo os SEDOLH’s

Pra resolver nossos SEDOLH’s, vamos usar um truque que todos conhecemos muito bem: chutar uma solução. Ora, se acharmos n soluções l.i. de acordo com o teorema acima, tá tudo certo.

O truque aqui é chutar uma solução esperta: X = u e λ t , onde u é um matriz n x 1 , u ∈ M n x 1 ( R ) . Nesse caso teremos:

X ' = d u e λ t d t = λ u e λ t = λ X

Mas a equação é algo do tipo:

X ' = A X

Certo? Logo, teremos:

A X = λ X

Opa, esse problema nós sabemos resolver! É só acharmos os autovetores e autovalores de A !!

Infelizmente, não acabamos ainda. No caso em que A é diagonalizável e tem somente autovalores reais, acabamos o problema.

Se tivermos autovalores complexos?

Suponha que tenhamos um autovalor complexo de A λ = α + i β e um autovetor associado u = v + i w , onde v e w são vetores reais. Teremos inicialmente uma solução complexa para o problema, mas lembrem-se, estamos tratando aqui de funções reais então não queremos essa:

u e λ t = u e α + i β t

Vamos separar as partes reais e imaginárias dessa solução:

u e α + i β t = e α t v + i w cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t  

Fazendo as contas chegamos em:

u e λ t = v   c o s β t - w sin ⁡ β t e α t + i ( v sin ⁡ β t   + w cos ⁡ β t ) e α t  

Temos uma parte toda real e uma parte toda imaginária. E daí? Bem galera, vamos fazer umas contas com uns vetores complexos:

X = u + i v

Aqui o u e o v são vetores de funções.

X ' = u ' + i v '

Agora seja um SEDOL do tipo:

X ' = A X

Onde A é uma matriz real:

u ' + i v ' = A u + i A v ⇒ u ' = A u v ' = A v

Resumo da história, as partes reais e imaginárias são, separadamente, soluções do SEDOLH!! Assim, no nosso caso, teremos que as soluções que procuramos são essas aqui:

X 1 = v   c o s β t - w sin ⁡ β t e α t

X 2 = ( v sin ⁡ β t   + w cos ⁡ β t ) e α t  

Observe que obtemos duas soluções pois elas estão atreladas a dois autovalores λ e λ - .

Então, se na hora da prova vocês não se lembrarem da forma, lembrem-se do procedimento que fizemos pra chegar aqui: só separamos as partes reais e imaginárias da solução.

E se a matriz não for diagonalizável?

Vamos supor agora que tenhamos um autovalor λ de A com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1 . Lembramos do nosso teorema lá em cima: precisamos de n soluções l.i. pra achar a geral, coisa que não temos tão fácil aqui.

E agora?? Bem galera, com esse λ , conseguimos achar um autovetor u e uma solução X 1 t = u e α t . Vou dizer pra vocês já a solução já que não é tão enriquecedor sabermos como chegamos nela. Vamos ter outra solução dada por:

X 2 t = u t e λ t + v e λ t

Onde v é um vetor que descobrimos resolvendo o sistema:

A - λ I v = u

Dá uma boa olhada nessa fórmula do X 2 , com um pouco de prática fica fácil lembrar dela. Além do mais, com ela já conseguimos induzir o caso em que λ tem multiplicidade algébrica 3 :

X 3 t = u t 2 e λ t + v t e λ t + w e λ t

Onde w é tirado do sistema:

A - λ I w = v

É isso aí galera. Agora já conseguimos resolver os SEDOLH’s que vão aparecerem no nosso caminho. Bora enfrentar eles nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

P3 MAT 2457 USP. Ano: 2008. Questão 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui, o problema já cuida da parte computacional pra gente. Temos o sistema:

X ' = A X

E ele nos deu os autovalores e autovetores de A. Lembramos que a solução de um sistema desse tipo é:

u e λ t

Onde u é um autovetor de A e λ seu autovalor associado.

Passo 2

Autovalor real:

A solução associada é:

X 1 t = e 3 t ( 0,0 , 1 )

Autovalores complexos:

Lembrando da decomposição dos autovalores e autovetores:

u = v + i w

λ = α + i β

Teremos:

α = 3

β = 1

v = 1,0 , 0

w = ( 0,1 , 0 )

Logo:

X 2 t = v   c o s β t - w sin ⁡ β t e α t = e 3 t ( cos ⁡ t , - sin ⁡ t , 0 )

X 3 t = ( v sin ⁡ β t   + w cos ⁡ β t ) e α t   = e 3 t ( sin ⁡ t , cos ⁡ t , 0 )

Por fIm:

X t = c 1 X 1 t + c 2 X 2 t + c 3 X 3 ( t )

X t = e 3 t ( c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t , c 3 cos ⁡ t - c 2 sin ⁡ t , c 1 )

Resposta

e X t = e 3 t c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t , - c 2 sin ⁡ t + c 3 cos ⁡ t , c 1 ,   c 1 , c 2 , c 3 ∈ R

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Determine a solução geral da equação:

X ' = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 - 1 X

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Já sabemos que o primeiro passo pra achar a solução geral é encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz A, que no caso é:

A = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 - 1

Pra encontrar autovalores, fazemos:

det ⁡ A - λ I = 0

1 - λ - 1 4 3 2 - λ - 1 2 1 - 1 - λ = 0

1 - λ 2 - λ - 1 - λ - 4 1 - λ = 0

1 - λ 2 - λ - 1 - λ - 4 = 0

Então temos:

1 - λ = 0 ⇒ λ 1 = 1

Ou então:

2 - λ - 1 - λ - 4 = 0

- 2 - 2 λ + λ + λ 2 - 4 = 0