Subespaço Vetorial

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Teoria

Introdução

Faala aí! Vamos agora aprender um carinha para complementar nosso estudo do espaço vetorial, o Subespaço Vetorial!

Vamos começar pegando a ideia desse subespaço vetorial relembrando um pouco sobre os espaços vetoriais.

É sempre bom a gente pensar no espaço vetorial como sendo umgrande conjunto V com vários elementos que devem respeitar um conjunto de regrinhas (os axiomas dos espaços vetoriais). Tai elementos são o que chamamos de vetores. A gente pode ilustrar essa ideia com a figura abaixo:

Nesta imagem, nosso espaço vetorial é o conjunto V com os vetores u, v e o w.

Com essa ideia em mente, podemos entender o subespaço como sendo um conjunto S dentro desse espaço vetorial V (por isso dizemos que ele é um subconjunto de V ). Ele vai pegar alguns ou até mesmo todos os elementos desse espaço vetorial. Podemos ver a ideia melhor nessa imagem aqui

A gente ve que o subespaço vetorial S do espaço vetorial V é um conjunto que envolve os vetores u ,   v e aquele vetor 0 . Olha, eu vou admitir que eu envolvi aquele vetor 0 de propósito Lembra que o espaço vetorial tem algumas regrinhas? Então, o subespaço vetorial também possui algumas regras também e uma delas eu já te adiantei: todo subespaço vetorial deve conter o vetor nulo. Tudo bem?

Resumo: O subespaço vetorial S de um espaço vetorial V é um conjunto de elementos de V que devem respeitar algumas regras.

Regras do Subespaço Vetorial

Vamos aprender aqui as condições para que um subconjunto S de um espaço vetorial V seja um subespaço vetorial de V . Primeirou eu vou apresentar as regras de uma forma traduzida e depois eu vou mostrar como elas aparecem, tudo bem? Vamos lá:

S vai ser um subespaço vetorial de V se:

  1. O vetor nulo esteja dentro de S . Sempre devemos verificar se o vetor nulo de V está presente nesse subconjunto de S .
  2. Se somarmos dois vetores u e v que estão em S , o resultado desta soma também deve estar dentro de S ;
  3. Se multiplicarmos qualquer vetor u de S por um número α real qualquer, o resultado deste produto deve estar dentro de S .

Em geral, as regras na forma que usamos nos exercícios são as seguintes:

  1. 0   ∈ S ;
  2. Para quaisquer u e v   ∈ S , temos que u + v   ∈ S ;
  3. Para qualquer   u ∈ S e α ∈   R , temos que α . u   ∈ R   .

A vantagem dos subespaços vetoriais é que só precisamos verificar essas três regrinhas ao contrário daquelas oito que a gente tinha que verificar nos espaços vetoriais.

Vamos pegar essa ideia de subespaço vetorial com alguns exemplos!

Verificando se os subconjuntos são subespaços vetoriais

Vamos começar conferindo se o seguinte subconjunto S é um subespaço vetorial:

S = x , 0 ∈   R 2

A gente começa entendendo melhor o que esse código todo está querendo nos dizer. Bem, o enunciado nos fala que o S é um subconjunto do R 2 . Se você não lembra quem é R 2 , relaxa, ele só é o conjunto de todos os pares x , y em que esse x e esse y podem ser quaisquer números reais, ok?

Voltando ao subconjunto S , ele nos fala que ele é composto por todos os pares ( x , y ) cujo a segunda componente, ou seja, o y é igual a zero. Em resumo, é o conjunto com todos os pares da forma ( x , 0 ) .

Tá ok, mas como a gente vê se isso é um subespaço vetorial ou não? Ora, temos que investigar se eles respeitam aquelas três regrinhas que eu mostrei ali em cima.

Começamos pela primeira regra: Será que o vetor nulo de R 2 está presente em nosso subconjunto S ? Para responder isso, vamos lembrar quem é o velor nulo de R 2 . É o vetor que todas as suas componentes são nulas:

0 = ( 0,0 )

Olha, se escolhermos x = 0 nos vetores de S , teremos o vetor ( 0,0 ) que é justamente o vetor nulo de R 2 ! Primeira regra, check!

Na segunda regrinha, vamos precisar somar dois vetores de S e ver se o resultado continua sendo um vetor do tipo ( x ,   0 ) . Vamos fazer isso supondo dois vetores de S , são eles:

u = x 1 , 0 v = ( x 2 , 0 )

A soma deles é

u + v = x 1 , 0 + ( x 2 , 0 )

Para calcular essa soma, devemos somar cada elemento do parêntesis com o elemento na mesma posição do outro vetor. Fica dessa forma aqui:

u + v   = x 1 +   x 2 , 0 + 0 = ( x 1 +   x 2 , 0 )

Como x 1 e x 2 têm de ser reais, sua soma também é um número real. Então, o resultado de u + v é o vetor ( x 1 +   x 2 , 0 ) que possui a primeira componente um número real qualquer e a segunda componente é nula. Isso é exatamente a condição para um vetor estar em S como o enunciado nos disse. Então, segunda regra check!

Para verificarmos a terceira regra, precisamos supor um vetor qualquer, que eu vou usar aquele u que eu já usei para checar a segunda regra, e um número real α qualquer. Vamos realizar o seguinte produto

α .   u = α . ( x 1 ,   0 )

Para fazer esse produto, multiplicamos cada componente por α :

α .   u = α .   x 1 ,   α . 0 =   α .   x 1 ,   0

Como tanto x 1 quanto α é real, o produto α . x 1 também é um número real. Então, o produto α . u resulta no vetor ( α x 1 ,   0 ) que tem como primeira componente qualquer número real α . x 1 e a segunda componente nula. Isso é exatamente a condição para este vetor estar em S !! Terceira regra, OK!

Como todas as regras estão valendo, podemos concluir que S é um subespaço vetorial de R 2 !

Retas como subespaços vetoriais

Outro exemplo bastante comum é o seguinte. Vamos mostrar que a reta y = 2 x é um subespaço vetorial de R 2 .

Opaaa!! Esse exemplo veio um pouco diferente. Cadê o subconjunto S que a gente vem sempre vendo?

Calmaa! Existem casos em que nós vamos ter que construir o subconjunto. Este exemplo é um deles.

O exercício nos diz que estamos no R 2 , então já sabemos que o subconjunto S é uma cópia do R 2 com alguma coisa diferente. Como o R 2 é o conjunto de todos os pares x , y , como já vimos ali em cima, a única coisa que devemos fazer é trocar esse valor de y por y = 2 x como o problema nos diz! Desta forma, o nosso subconjunto S é da forma:

S = x ,   2 x   c o m   x   ∈ R

Tudo bem? Então vamos lá!

Precisamos testar a primeira regra para esse S ser um subespaço. Será que conseguimos encontrar o vetor nulo de R 2 (aquele 0 = ( 0,0 ) ) em S ? Se escolhermos x = 0 , teremos

0 ,   2.0 = 0,0

E a gente vê que se escolhermos x = 0 , temos o vetor nulo em S . Primeira regra bateu!!

Na segunda, precisamos supor dois vetore u e v pertencentes a S , eu vou escolher os seguintes vetores:

u = x 1 ,   2 . x 1 v = x 2 , 2 . x 2

Percebeu que eu tenho que supor vetores que possuam aquela estrutura de ( x , 2 x ) com x real, né? Agora, precisamos somar u e v para ver se mantemos esta estrutura:

u + v = x 1 ,   2 x 1 +   x 2 ,   2 x 2

Fazemos essa soma somando as componentes que estão nas mesmas posições nos parêntesis:

u + v = x 1 + x 2 ,   2 x 1 + 2 x 2

Olha, na segunda componente nós temos o número 2 multiplicando todos os termos. Então, podemos coloca-lo em evidência dessa forma aqui:

u + v = x 1 + x 2 ,   2 ( x 1 + x 2 )

Como x 1 e x 2 têm de ser reais, sua soma também é um número real. Então, o resultado de u + v é o vetor ( x 1 +   x 2 , 2 ( x 1 + x 2 ) ) que possui a primeira componente um número real qualquer e a segunda componente é o dobro da primeira. Isso é exatamente a condição para um vetor estar em S como o enunciado nos disse. Então, segunda regra check!

Para verificarmos a terceira regra, precisamos supor um vetor qualquer, que eu vou usar aquele u que eu já usei para checar a segunda regra, e um número real α qualquer. Vamos realizar o seguinte produto

α .   u = α . ( x 1 ,   2 x 1 )

Para fazer esse produto, multiplicamos cada componente por α :

α .   u = α .   x 1 ,   α . 2 x 1 =   α x 1 ,   2 a x 1

A gente usou aqui que a ordem dos fatores não altera o produto, então a . 2 . x 1 = 2 . a . x 1 . Como tanto x 1 quanto α é real, o produto α . x 1 também é um número real. Então, o produto α . u resulta no vetor ( α x 1 ,   2 a x 1 ) que tem como primeira componente qualquer número real α . x 1 e a segunda componente é o dobro da primeira. Isso é exatamente a condição para este vetor estar em S !! Terceira regra, OK!

Como todas as regras estão valendo, podemos concluir que S é um subespaço vetorial de R 2 !

Matrizes como subespaços vetoriais

Vamos verificar que o subconjunto S a seguir é um subespaço vetorial do Espaço vetorial das matrizes 2 × 2 .

S = 1 b c 0   ∈ M 2 R

Primeiro, vamos entender esse código estranho aí. O enunciado nos fala que S é o subconjunto de todas as matrizes 2 × 2 com elementos reais (isso que significa aquele M 2 R ) em que o elemento da primeira linha e primeira coluna é igual a 1 e o segundo número da segunda coluna tem que ser igual a zero.

Para pegar a ideia, vou mostrar algumas matrizes que podem estar nesse subconjunto S :

1 2 3 0 ;   1 5 7 0 ;   1 12 27 0 ; …

Entendido isso, vamos às nossas regrinhas! Para testarmos a primeira regra, precisamos conhecer quem é o vetor nulo no mundo das matrizes 2 × 2 .

O vetor nulo nessas matrizes é dado por uma matriz 2 × 2 com todos os elementos dela iguais a zero, dessa maneira aqui ó:

0 = 0 0 0 0

Vamos ver agora se conseguimos construir essa matriz seguindo as regras das matrizes que pertencem ao subconjunto S .

Olha só, como todas as matrizes que estão em S precisam ter o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a 1 , a gente nunca vai conseguir zerar todos os termos das matrizes de S . Então o vetor 0 não pertence ao subconjunto S que por sua vez não é um subespaço vetorial de M 2 R . Que pena ☹

É isso, galera. O procedimento para testar se os subconjuntos dados são ou não subespaços vetoriais é sempre este. Sempre vamos ter de testar aquelas 3 regrinhas. Com a prática, você já vai ser capaz de testar direto aquelas regras que você acha que o subconjunto não respeita!!

Então... está esperando o quê para treinar nos exercícios? Estarei lá te esperando 😊

Verificando se os subconjuntos são subespaços vetoriais

Retas como subespaços vetoriais

Matrizes como subespaços vetoriais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine se K é subespaço vetorial de R 3 :

c   K = a , 1,1 ∈ R 3 a ∈ R }

Passo 1

Faaaala aí! Vambora para essa questão sobre subespaço vetorial!

Um subespaço vetorial U tem que atender 3 condições!

  • 0   ϵ   U
  • U é fechado para soma: u , v   ϵ   U →   u + v   ϵ   U
  • U   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   U → λ u   ϵ   U

Passo 2

Vamos começar pela primeira condição!

Esse conjunto é especial porque ele é mais tranquilinho de ver se é um subespaço ou não “ué por que?”

Basta ver que como o conjunto é composto de elementos do tipo ( a , 1,1 ) , não conseguimos nenhum valor de a para obtermos o vetor nulo ( 0,0 , 0 ) , ou seja, o vetor nulo não pertence à K .

Como ele não possui o elemento nulo do R 3 , ele não é subespaço vetorial (pela primeira condição dos subespaços vetoriais).

Vamos continuar com nossos estudos para ficar fera!

Resposta

Não é subespaço vetorial.

Exercício Resolvido #2

Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

a   U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

Passo 1

Faaaala aí! Vambora para essa questão sobre subespaço vetorial!

Um subespaço vetorial U tem que atender 3 condições!

  • 0   ϵ   U
  • U é fechado para soma: u , v   ϵ   U →   u + v   ϵ   U
  • U   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   U → λ u   ϵ   U

Passo 2

Show de bolinhas, para testar se U é um subespaço vetorial de   R 3 , precisamos aplicar o teorema, então vamos começar pela primeira condição!

Temos que, no R 3 , o elemento nulo é o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Aplicando na condição do conjunto

U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

Ou seja, temos valores a , b e c que têm que validar essa condição aqui:

b = a + c + 1

Como precisamos verificar o vetor nulo, temos que:

a , b , c = ( 0,0 , 0 )

Ou seja,

a = 0   ; b = 0   ; c = 0

Na condição do conjunto, temos que

b = a + c + 1

Substituindo os valores:

0 = 0 + 0 + 1

0 = 1  

Como sabemos que 0 não é igual a 1 , chegamos a um absurdo.

Logo, nenhum a ,   b e c para obter o elemento nulo. Então o elemento nulo não está contido nesse conjunto U e, portanto, não é um subespaço vetorial de R 3 .

Vamos continuar exercitando isso aí! Foco, fé e força galerinha!

Resposta

U não é subespaço vetorial de R 3 .

Exercício Resolvido #3

Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

b   V = a , b , c ∈ R 3 a , b ∈ R ,   2 a + 3 b = 5 c }

Passo 1

Opa, tudo certinho? Vamo que vamo para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Para um conjunto V ser um subespaço temos 3 condições que ele deve obedecer:

  • 0   ϵ   V
  • V é fechado para soma: u , v   ϵ   V →   u + v   ϵ   V
  • V   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   V → λ u   ϵ   V

Passo 2

Olhando a primeira condição:

Temos que, no R 3 , o elemento nulo é o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Ou seja, a , b , c = ( 0,0 , 0 )

Se igualarmos cara carinha de um lado com outro cara na mesma posição mas do outro lado da igualdade, temos que a = b = c = 0 .

A condição do conjunto V diz que:

2 a + 3 b = 5 c

Agora vamos substituir os valores que obtemos para a ,   b   e c :

2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 = 5 ∙ 0

0 = 0

Como chegamos a um resultado consistente, o ( 0,0 , 0 ) pertence ao conjunto.

Show, primeira condição check!

Passo 3

Mas, calma, isso ainda não prova nada... Vamos para a segunda condição do teorema. Conjunto fechado para soma

Vamos pensar em dois vetores, v 1 e v 2 , desse jeitinho:

v 1 = a 1 , b 1 , c 1 ,   v 2 = a 2 , b 2 , c 2

E queremos analisar isso daqui:

v 1 , v 2 ∈ V ⇒ v 1 + v 2 ∈ V ?

Somando os vetores, temos que:

v 1 + v 2 = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 )

Agora vem a sacada, onde tem a na restrição de V :

2 a + 3 b = 5 c

vamos substituir por a 1 + a 2 e a mesma coisa para b e c . Ficamos, então, com:

2 a 1 + a 2 + 3 b 1 + b 2 = 5 c 1 + c 2

Podemos ajeitar para ficarmos desse jeitinho aqui:

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

Repare que na nossa implicação no começo do enunciado, usamos a hipótese de: v 1 , v 2 ∈ V .

Isso siginifca que eles pertencem ao conjunto e, portanto, cada uma das suas coordenadas satisfaz a equação descrita. Assim, aplicando a hipótese, temos que que:

2 a 1 + 3 b 1 = 5 c 1

E

2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 2

Somando estas duas condições a gente tem:

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

Que é exatamente a expressão que obtemos ali em cima!

Ou seja:

v 1 + v 2 ∈ V

Show, é verdade isso daí 😊

E assim está fechado para soma.

Uhul, segunda condição check!

Passo 4

Última condição do teorema é ser fechado para multiplicação escalar

λ ∈ R ,   v = a , b , c ∈ V ⇒ λ v ∈ V ?

Temos que o vetor multiplicado pelo escalar é

λ v = λ a , b , c

Podemos fazer como uma distributiva, ficando com

λ v =   ( λ a , λ b , λ c )

Logo, aplicando a condição do conjunto ficaríamos com:

2 λ a + 3 λ b = 5 λ c

Podemos colocar o λ em evidencia:

λ 2 a + 3 b = λ ( 5 c )

Olha só aquele parêntesis do lado esquerdo da igualdade. Como v = a , b , c ∈ V , temos a seguinte relação entre o   a ,   b e c :

( 2 a + 3 b ) = 5 c

Substituindo esse resultado na expressão de cima

λ 5 c = λ ( 5 c )

E vemos que o conjunto V é fechado para multiplicação por escalar.

Ebaa, terceira condição check!

Fechamos todas as condições, então V é um subespaço vetorial!

Resposta

V é subespaço vetorial de R 3 .

Exercício Resolvido #4

Às vezes é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V , subconjuntos S que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”. Tais conjuntos serão chamados subespaços vetoriais de V .

Qual das opções contém um subconjunto de R 3 que não é um subespaço vetorial?

I )   W = { a , a , 2 a , a   ϵ   R }

I I )   W = { ( 0,0 , a ) , a   ϵ   R }

I I I )   W = { ( 0,1 , a ) , a   ϵ   R }

I V ) W = { ( a , 2 a , 3 a ) , a   ϵ   R }

Passo 1

Faaaala aí! Tudo certinho? Vamos pra cima dessa questão sobre Subespaços Vetoriais!

Para um subconjunto U ser um subespaço vetorial, precisamos atender 3 condições do teorema:

  • 0   ϵ   U
  • U é fechado para soma: u , v   ϵ   U →   u + v   ϵ   U
  • U   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   U → λ u   ϵ   U

Passo 2

O que a gente vai fazer é ver qual não vai atender às condições, vamos começar fazendo a primeira condição para cada alternativa

I )   W = { a , a , 2 a , a   ϵ   R }

Temos que, no R 3 , o elemento nulo é o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Aplicando na condição do conjunto

W = a , a , 2 a , a   ϵ   R

Ou seja,

( a , a ,   2 a ) = ( 0 , 0,0 )

Aqui a gente vê que se o a for igual a zero ficamos com:

( 0,0 , 2 ⋅ 0 )

Que dá

0,0 , 0

Show 0   ϵ   W

Passo 3

Vamos ver essa condição para as próximas opções

I I )   W = { ( 0,0 , a ) , a   ϵ   R }

Aplicando na condição do conjunto

W = 0,0 , a , a   ϵ   R

Ou seja, temos o valor

a = 0

Que, substituindo no vetor, ficamos com:

( 0,0 , 0 )

Show 0   ϵ   W aqui também

Passo 4

I I I )   W = { ( 0,1 , a ) , a   ϵ   R }

Aplicando na condição do conjunto

W = 0,1 , a , a   ϵ   R

Ou seja, temos valor

a = 0

Que, substituindo no vetor, ficamos com:

( 0,1 , 0 )

Vixiii, não tem nenhum valor de a que faça com que esse 1 vire 0 , então achamos o nosso subconjunto que não é subespaço vetorial

Resposta

I I I )   não é subespaço vetorial

Exercício Resolvido #5

S = { x , 0,0   ϵ   R 3 } é subespaço do R 3 ?

Passo 1

Faaaaala aí pessoal! Vamos para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Bom, o enunciado pergunta se

( x , 0,0 ) é subespaço de R 3

E um subespaço vetorial S tem que atender 3 condições:

  • 0   ϵ   S
  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S
  • Vamos analisar essas condições!

    Passo 2

    A primeira diz que

    • 0   ϵ   S

    como S tem que ser subespaço de R 3 , então

    0 → ( 0,0 , 0 )

    Vamos ver aqui, se fizermos

    x = 0

    Nosso vetor é

    x ,   0 ,   0 = 0,0 , 0

    Então existe um possível x em que o vetor nulo pertença ao S . A primeira condição está show de bola!

    Passo 3

    Agora vamos para a segunda!

  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • Então vamos escolher dois vetores que são da forma ( x , 0,0 )

    u = ( a , 0,0 ) v = ( b , 0,0 )

    Agora vamos somar esses vetores

    u + v = a , 0,0 + b , 0,0 = a + b , 0,0

    Isso continua na forma de S pois as duas últimas coordenadas ainda são zero!

    Show, fechou essa condição também!

    Passo 4

    Bora para terceira e última condição

  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S

Vamos usar o mesmo vetor u = a , 0,0

Multiplicando-o por um escalar λ , temos que

λ ⋅ u = λ a , 0,0

Isso nos dá que

λ ⋅ u = λ a , λ . 0 , λ . 0 = ( λ a ,   0 ,   0 )

Continuou dentro do formato! Então essa condição também foi atendida

Show, atendemos as três condições, então podemos dizer que sim, S = { x , 0,0   ϵ   R 3 } é subespaço do R 3

Resposta

S = { x , 0,0   ϵ   R 3 } é subespaço vetorial do R 3

Exercício Resolvido #6

Verifique se S = { x , y , z ϵ   R 3 ; x + y + z = 0 } é subespaço vetorial de R 3

Passo 1

Opa fala aí! Vamo que vamo para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Bom, o enunciado pergunta se

( x , y , z ) com a restrição de x + y + z = 0