Transformações Lineares

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Teoria

Faaala, Aí! Vamos aprender aqui sobre uma operação que podemos fazer nos espaços vetoriais, as chamadas transformações lineares. A ideia é bem simples de se ver. Essas transformações são funções (com algumas regras) que vão pegar um vetor do nosso espaço e transformá-lo em algum vetor diferente.

Vamos refinar esse conceito para conseguirmos trabalhar melhor isso!!

Introdução

Para entendermos as transformações lineares, vamos precisar de dois espaços vetoriais que eu vou chamar de V e U . Esses espaços podem ou não serem o mesmo espaço vetorial, mas aqui eu quis chamar de nomes diferentes só para a gente não se confundir, beleza. A ideia está representada nessa imagem aqui:

A transformação linear vai ser uma aplicação de uma operação T (a gente usa letras maiúsculas para nomear as transformações também) em algum vetor do meu espaço vetorial V , por exemplo, no vetor v , que vai me fornecer um outro vetor, u , no outro espaço vetorial U . Podemos ver esse funcionamento na imagem a seguir:

Na prática, a gente fala que T é uma transformação linear que pega um vetor no espaço V e leva para um outro vetor no espaço U através desse código aqui:

T : V   → U

A gente vai se deparar muito com isso, então é bom já termos em mente.

Transformações de R n para R m

Vamos ver alguns exemplos de transformações aqui para a gente já ficar acostumado.

Considere a seguinte transformação linear T :   R 2 → R 3 :

T x , y → ( 2 x ,   0 ,   x + y )

Epa! Que assustador!!

Calma, vamos traduzir isso tudo aí juntos.

Essa transformação pega um vetor do R 2 (um vetor que tem duas componentes) e nos dá como resposta um vetor do R 3 (um vetor com três componentes). Vamos ver como que ela atua, por exemplo, no vetor 1,2 .

Para fazermos isso, temos que substituir x = 1 (x sempre vai ser o primeiro número do parêntesis) e y = 2 ( y vai ser sempre o segundo número do parêntesis) naquela fórmula que o problema nos passou: T 1 , 2 → ( 2 . 1 ,   0 ,   1 + 2 )

Calculando o produto que apareceu ali e a soma, ficamos com

T 1 , 2 → ( 2 ,   0 ,   3 )

Olha lá! Saímos do vetor ( 1,2 ) , que possui duas componentes, para o vetor 2,0 , 3 que possui três componentes. É assim que funciona!

Outra transformação aí para a gente ver: T : R → R dado por

T x → 2 x 2

Aqui temos uma transformação que pega um vetor de um espaço ( R ) e nos dá um vetor do mesmo espaço. Bem parecido com aquelas funções do segundo grau, né? A ideia é a mesma, pegamos um valor de x e a transformação vai nos fornecer o resultado de 2 x 2 .

Olha, até agora eu só mostrei para vocês algumas transformações. Mas as que a gente está interessado são as transformações lineares. Essas transformações possuem algumas regras que elas devem seguir. Então, pode ser que nos exemplos que a gente viu, tenhamos ou não transformações lineares. Vamos ver essas regras agora!!

Propriedades das Transformações Lineares

Para que uma transformação T : V   → U seja uma transformação linear, ela deve satisfazer:

  1. Para quaisquer u e v do espaço vetorial V , a transformação da soma desses vetores deve ser igual a soma das transformações de cada vetor separadamente:
  2. T u + v = T u + T v

  3. Para qualquer u no espaço V e qualquer número real k , a transformação do produto k . u tem que ser igual a k vezes a transformação de u :

T k . u = k . T ( u )

Com isso tudo em mente, vamos ver se aquelas transformações que a gente viu aqui são lineares ou não.

Testando se uma transformação é ou não linear

Vamos começar com a transformação T :   R 2 → R 3 :

T x , y → ( 2 x ,   0 ,   x + y )

Para verificarmos se ela respeita as duas propriedades das transformações lineares, vamos precisar supor dois vetores de R 2 quaisquer:

u = ( x 1 ,   y 1 )

v = ( x 2 ,   y 2 )

E um número real k também qualquer.

Vamos começar pela primeira propriedade. Calculamos primeiro T ( u + v ) e depois calculamos T u +   T v e vemos se os resultados batem. Para calcularmos T ( u + v ) ajuda calcularmos primeiro o resultado da soma u + v :

u + v = x 1 ,   y 1 + ( x 2 ,   y 2 )

Somando cada componente, temos:

u + v = x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2

Boa!

Agora, podemos calcular:

T u + v = T x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2

Usando a fórmula de T ( x , y ) que o problema nos deu substituindo x por x 1 + x 2 e y por y 1 + y 2 . Dessa forma, ficamos com:

T x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 = 2 . x 1 + x 2 ,   0 ,   ( x 1 + x 2 + ( y 1 + y 2 ) )

Realizando aquele produto de 2 ali em ambos os termos do parêntesis, temos

T x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 = ( 2 x 1 + 2 x 2 ,   0 , x 1 + x 2 + y 1 + y 2 )

Essa é a forma final de T ( u + v ) .

Agora, vamos usar as transformações de cada vetor isoladamente:

T u = T x 1 , y 1 = ( 2 x 1 , 0 , x 1 + y 1 )

T v = T x 2 , y 2 = 2 x 2 , 0 , x 2 + y 2

Temos que somar esses dois resultados:

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 = 2 x 1 , 0 , x 1 + y 1 +   2 x 2 , 0 , x 2 + y 2

Somando cada componente isoladamente, temos:

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 = 2 x 1 + 2 x 2 ,   0 + 0 ,   x 1 + y 1 + x 2 + y 2

Arrumando os termos, já que a ordem dos fatores não altera a soma:

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 = 2 x 1 + 2 x 2 ,   0 ,   x 1 + x 2 + y 1 + y 2

E essa é a forma final de T ( u ) + T ( v ) . E aí a gente vê que

T u + v = T u + T ( v )

Primeira propriedade tá valendo 😊

Vamos para a segunda propriedade!

Agora, temos que calcular T ( k . u ) . Primeiro vamos ver como que fica k . u :

k . u = k . ( x 1 , y 1 )

Multiplicando k em cada uma das componentes, ficamos com

k . u = ( k . x 1 , k . y 1 )

Usando a fórmula de T ( x , y ) que o problema nos deu substituindo x por k . x 1 e y por k . y 1 , ficamos com:

T k . u = ( 2 . k . x 1 ,   0 ,   k . x 1 + k . y 1 )

Podemos por k em evidência:

T k . u = k . 2 x 1 ,   0 ,   k . x 1 + y 1

Como em todas as componentes eu tenho um k multiplicando (a gente pode pensar que 0 = k . 0 ), podemos por o k em evidência de tudo:

T k . u = k . ( 2 x 1 ,   0 , x 1 + y 1 )

Opaaa! Olha aquele vetor que apareceu ali no lado direito desta igualdade! Vê se não é exatamente o valor de T ( u ) que já calculamos acima. Então, podemos escrever T k . u = k . T ( u )

E vemos que a segunda propriedade também bate. Então, esse T x , y que o problema nos deu é sim uma transformação linear!

Vamos ver se T : R → R dado por

T x → 2 x 2

é uma transformação linear.

Bom, a gente pode começar testando qualquer uma das propriedades. Vamos começar pela segunda? Vamos lá!

Antes, deixa só eu te dar uma dica. O nome linear que aparece aqui direto tem a ver com o fato da transformação só carregar termos de x ,   y (ou mais) elevados à 1. Então, quando se deparar com alguma transformação que envolva x 2 ou y 2 , já suspeita que não vai ser uma transformação linear, ok?

Vamos lá testar essa segunda propriedade. Primeiro, vamos supor um vetor u qualquer:

u = x 1

Com isso, usando a fórmula de T x que o problema nos deu podemos escrever:

T u = 2 x 1 2

Agora, precisamos calcular T ( k . u ) , primeiro vemos que

k . u = k . x 1

Vamos calcular a transformação disso aí usando a fórmula que o problema nos deu substituindo x por k . x 1 :

T k . u = T k . x 1 = 2 . k x 1 2

Quando temos um produto elevado ao quadrado, podemos elevar ambos os termos do produto ao quadrado e tirar aqueles parêntesis:

T k . u = T k . x 1 = 2 . k 2 x 1 2

Beleza! Agora vamos ver se isso é igual a k . T ( u ) . Usando o valor de T ( u ) que já calculamos agora há pouco, temos k . T u = k . 2 . x 1 2

Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos trocar o 2 e o k de lugar:

k . T u = 2 . k . x 1 2

Se compararmos os valores de T k . u com o de k . T ( u ) vemos que eles são diferentes, então, nesse caso temos: T k . u ≠ k . T ( u )

Isso viola a nossa segunda propriedade, então essa transformação não pode ser linear. #quepena

É isso, galera. Chegamos ao fim desse tópico. Mas não tem jeito, temos que dar uma treinada para ficarmos bem safos nessas transformações lineares!!

Vem comigo para resolvermos uns exercícios? Te espero lá 😊

Propriedades das Transformações Lineares

Testando se uma transformação é ou não linear

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a imagem do vetor v = ( - 1,2 ) pela Transformação Linear T x , y = ( - 2 y , 0 )

  1. ( 2,2 )
  2. ( 0 , - 2 )
  3. ( 2,0 )
  4. ( - 2,2 )
  5. ( - 4 , 0 )

Passo 1

Faaaaala aí! Tudo certinho? Vamos para cima dessa questão sobre Transformação Linear!

Bom, a Transformação Linear tem essa carinha aqui:

T x , y = - 2 y , 0

É uma transformação R 2 → R 2

A gente tem que nosso domínio é

v = ( - 1,2 )

E queremos saber a imagem, ou seja, o resultado transformação:

T - 1,2 =   ?

A gente já pode ver, pelo jeitinho da transformação, que a segunda coordenada vai ser zero, independentemente do valor de x e y . Isso já elimina algumas opções da questão 😊

Passo 2

Show de bola, vamos então resolver isso daí!

Temos que

T x , y = - 2 y , 0

E queremos

T - 1,2

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por - 1 e onde tem y por 2

Vamos lá então:

T - 1,2 = ( - 2 ⋅ ( 2 ) , 0 )

Vamos fazer a multiplicação!

Então nossa transformação fica:

T - 1,2 = - 4 , 0

Que é a letra e!

Resposta

e) ( - 4 , 0 )

Exercício Resolvido #2

Determine a imagem do vetor v = ( 2,3 ) pela transformação linear T x , y = ( 2 x + y , 3 x + 2 y )

  1. ( 2,14 )
  2. ( 3,15 )
  3. ( 2,13 )
  4. ( 7,12 )
  5. ( 8,12 )

Passo 1

Opa, e aí! Vamos pra cima dessa questão sobre Transformação Linear!

Bom, a Transformação Linear tem essa carinha aqui:

T x , y = ( 2 x + y , 3 x + 2 y )

É uma transformação R 2 → R 2

A gente tem que nosso domínio é

v = ( 2,3 )

E queremos saber a imagem, ou seja, o resultado da transformação

T ( 2,3 ) =   ?

Passo 2

Show de bola, vamos então resolver isso daí!

Temos que

T x , y = ( 2 x + y , 3 x + 2 y )

E queremos

T 2,3

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por 2 e onde tem y por 3

Vamos lá então:

T 2,3 = 2 ⋅ 2 + 3 , 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3

Fazendo as multiplicações, temos:

T 2,3 = 4 + 3,6 + 6

Somando, ficamos com:

T 2,3 = ( 7,12 )

Show, achamos bonitinho a resposta, só precisávamos substituir! Vamos continuar exercitando para ficar fera nessas transformações

Resposta

d) ( 7,12 )

Exercício Resolvido #3

Determine a imagem do vetor v = 2 , - 3 pela Transformação Linear T x , y = x - 2 y , 2 x

  1. ( - 4 , - 6 )
  2. ( - 2,8 )
  3. ( 8,4 )
  4. ( 8 , - 6 )
  5. ( 4,6 )

Passo 1

Faaaaala aí! Vamos pra cima dessa questão sobre Transformação Linear? Vamo que vamo!

Bom, a Transformação Linear tem essa carinha aqui:

T x , y = x - 2 y , 2 x

É uma transformação R 2 → R 2

A gente tem que nosso domínio é

v = ( 2 , - 3 )

E queremos saber a imagem, ou seja, a transformação

T 2 , - 3 =   ?

Passo 2

Show de bola, vamos então resolver isso daí!

Temos que

T x , y = x - 2 y , 2 x

E queremos

T 2 , - 3

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por 2 e onde tem y por - 3

Vamos lá então:

T 2 , - 3 = ( 2 - 2 ⋅ - 3 , 2 ⋅ 2 )

Vamos começar fazendo as multiplicações!

T 2 , - 3 = 2 - - 6 , 4

Agora, como com + , ficamos com:

T 2 , - 3 = 2 + 6,4

Isso dá pra gente:

T 2 , - 3 = ( 8,4 )

Que é a letra c

Resposta

c) ( 8,4 )

Exercício Resolvido #4

Determine a imagem do vetor v = ( - 1,2 , 0 ) pela Transformação Linear T x , y , z = ( z , 0 , x )

  1. ( 0,0 , - 1 )
  2. ( 0,1 , 1 )
  3. ( 2,0 , 1 )
  4. ( 1,0 , - 1 )
  5. ( 0,0 , 0 )

Passo 1

Faaaaala aí! Tudo certinho? Vamos pra cima dessa questão sobre Transformação Linear!

Bom, a Transformação Linear tem essa carinha aqui:

T x , y , z = z , 0 , x

A gente já pode ver, pelo jeitinho da transformação, que a segunda coordenada vai ser zero, independentemente do valor de x , y e z . Isso já elimina uma opçãozinha da questão 😊

É uma transformação R 3 → R 3

A gente tem que nosso domínio é

v = ( - 1,2 , 0 )

E queremos saber a imagem, ou seja, a transformação

T ( - 1,2 , 0 ) =   ?

Passo 2

Show de bola, vamos então resolver isso daí!

Temos que

T x , y , z = z , 0 , x

E queremos

T - 1,2 , 0

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por - 1 , onde tem y por 2 e onde tem z por 0

Vamos lá então:

T - 1,2 , 0 = 0 , 0 , - 1

Show, achamos bonitinho a resposta, só precisávamos substituir! Vamos continuar exercitando para ficar fera nessas transformações

Resposta

  1. ( 0,0 , - 1 )

Exercício Resolvido #5

Determine a imagem do vetor v = ( - 2,1 , 2 ) pela Transformação Linear T x , y , z = ( x + y , y + z , z + x )

  1. ( 2 , - 1,4 )
  2. ( 1,0 , 4 )
  3. ( 1,2 , 1 )
  4. ( - 1,3 , 0 )
  5. ( 0,2 , 3 )

Passo 1

Opa, tudo certinho? Vamos pra cima dessa questão sobre Transformação Linear!

Bom, a Transformação Linear tem essa carinha aqui:

T x , y , z = x + y , y + z , z + x

É uma transformação R 3 → R 3

A gente tem que nosso domínio é

v = ( - 2,1 , 2 )

E queremos saber a imagem, ou seja, a transformação

T ( - 2,1 , 2 ) =   ?

Passo 2

Show de bola, vamos então resolver isso daí!

Temos que

T x , y , z = x + y , y + z , z + x

E queremos

T - 2,1 , 2

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por - 2 , onde tem y por 1 e onde tem z por 2

Vamos lá então:

T - 2,1 , 2 = - 2 + 1,1 + 2,2 - 2

Beleza, somando isso vamos ficar com:

T - 2,1 , 2 = - 1,3 , 0

Que é a letra d )

Resposta

d)   ( - 1,3 , 0 )

Exercício Resolvido #6

Seja T : R 3 → R 3 , linear dada por T x , y , z = ( 2 x + z , y , 0 ) determinar a imagem dos vetores pela transformação

  1. T 1 , - 1,2
  2. T 2,0 , 1

Passo 1

Opa, e aí! Vamo que vamo para mais uma questão de transformação linear!

Querides, a primeira Transformação Linear tem essa carinha aqui:

T x , y , z = 2 x + z , y , 0

É uma transformação R 3 → R 3

Passo 2

Show, já vimos a transformação linear, agora vamos começar com a opção i), a gente tem que nosso domínio é

v = ( 1 , - 1,2 )

E queremos saber a imagem, ou seja, a transformação

T ( 1 , - 1,2 ) =   ?

Show de bola, vamos então resolver isso daí!

Temos que

T x , y , z = 2 x + z , y , 0

E queremos

T ( 1 , - 1,2 )

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por 1 , onde tem y por - 1 e onde tem z por 2

Vamos lá então:

T ( 1 , - 1,2 ) = 2 ⋅ 1 + 2 , - 1 , 0

Vamos começar fazendo a multiplicação

T ( 1 , - 1,2 ) = 2 + 2 , - 1,0

Beleza, somando isso vamos ficar com:

T ( 1 , - 1,2 ) = 4 , - 1,0

Passo 3

Agora vamos para a ii) aqui temos que o domínio é

v = ( 2,0 , 1 )

E queremos saber a imagem, ou seja, a transformação

T ( 2,0 , 1 ) =   ?

Vamos fazer de forma análoga ao passo anterior!

Temos que

T x , y , z = 2 x + z , y , 0

E queremos

T 2,0 , 1

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por 2 , onde tem y por 0 e onde tem z por 1

Vamos lá então:

T 2,0 , 1 = 2 ⋅ 2 + 1 , 0 , 0

Vamos começar fazendo a multiplicação

T 2,0 , 1 = 4 + 1,0 , 0

Beleza, somando isso vamos ficar com:

T 2,0 , 1 = 5,0 , 0

Então a gente consegue ver que uma transformação pode ter infinitas imagens, depende do vetor que queremos analisar!

Resposta

  1. T ( 1 , - 1,2 ) = ( 4 , - 1,0 )
  2. T ( 2,0 , 1 ) = ( 5,0 , 0 )

Exercício Resolvido #7

Seja V = R 2 e W = R 3 uma transformação linear T : R 2 → R 3 associa vetores v = ( x , y ) pertencente a R 2 com w = ( x , y , z ) pertencente a R 3 . Seja a lei que define a transformação T dada por T x , y = ( 3 x , - 2 y + 1 , x + y ) , o valor de T ( 0,0 ) é:

  1. ( 3 , - 1,0 )
  2. ( 0,1 , 0 )
  3. ( 0,0 , 2 )
  4. ( 0,0 , 0 )
  5. Nenhuma das respostas acima

Passo 1

Opa, fala aí galerinha! Vamos seguir com nossos estudos sobre Transformação Linear.

Bom o enunciado dá várias informações pra gente, vamos analisá-las a seguir:

Temos uma transformação de um vetor com duas coordenadas R 2 para um vetor com três coordenadas R 3 .

Pode sim Galvão, podemos encontrar transformações de coordenadas diferentes!

Além disso, temos que a transformação tem essa carinha aqui:

T x , y = ( 3 x , - 2 y + 1 , x + y )