Teoria

Faaala, Aí! Vamos aprender aqui sobre as bases dos nossos espaços vetoriais. Olha, a gente já consegue ter alguma coisa em mente se pensarmos que o espaço vetorial é alguma construção e como toda construção, nós temos uma base! Então, todos os elementos de um espaço vetorial podem ser construído a partir de sua base... Essa é a ideia!

Vamos refinar esse conceito para conseguirmos trabalhar melhor isso!!

Introdução

Galera, a partir de toda essa ideia de construção a gente consegue aprimorar um pouco e trazer mais para perto esse conceito do que a gente conhece dos espaços vetoriais. A gente chama de base o conjunto de vetores de algum espaço vetorial V aos quais qualquer outro vetor de V possa ser escrito como combinação linear desses vetores.

Olha só, vamos ver um exemplo aqui que vai nos ajudar a entender isso.

O conjunto de vetores 1,0 , 0 ; 0,1 , 0 ,   0,0 , 1 é uma do espaço vetorial R 3 . Só para a gente não se perder, esse espaço vetorial é o espaço de todos os vetores de três componentes (é o espaço tridimensional). Qualquer vetor nele é da forma ( x , y , z ) .

A gente vai conseguir ver que qualquer vetor do R 3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Vamos começar pensando em um vetor qualquer de três componentes. Eu escolhi esse aqui ( 2,3 , 7 ) . Será que ele pode ser escrito como combinação linear daqueles vetores ali?

Vamos lembrar o que eu estou querendo dizer com essa combinação linear. Se o vetor 2,3 , 7 for uma combinação linear daqueles vetores, eu vou conseguir achar um a ,   b e um c que satisfaçam essa relação aqui:

2,3 , 7 = a . 1,0 , 0 + b . 0,1 , 0 + c . ( 0,0 , 1 )

Se realizarmos os produtos que aparecem ali, ficamos com

2,3 , 7 = a , 0,0 + 0 , b , 0 + ( 0,0 , c )

Somando cada os números que estão na mesma posição nos parêntesis, temos

2,3 , 7 = a + 0 + 0 , 0 + b + 0 , 0 + 0 + c 2,3 , 7 =   a , b , c

Então ficamos com uma igualdade entre vetores. Lembrando que dois vetores só são iguais se todas as suas componentes forem iguais, ficamos com:

a = 2 b = 3 c = 7

Ou seja, a gente consegue escrever o nosso vetor como sendo a combinação:

2,3 , 7 = 2 . 1,0 , 0 + 3 . 0,1 , 0 + 7 . ( 0,0 , 1 )

Bem, isso foi para um vetor só, será que eu consigo fazer para qualquer um? Você pode ver que em nosso exemplo as componentes do vetor ( 2,3 , 7 ) já apresentavam aqueles coeficientes a ,   b e c da combinação linear. Isso vai valer para qualquer vetor nesse espaço. Por exemplo, para um vetor ( 12,2 , 3 ) vamos ter a = 12 ,   b = 2 e c = 3 e por aí vai. Então, sim, esse conjunto consegue gerar todos os vetores do espaço vetorial R 3 . Apesar disso, a gente ainda não pode afirmar que esse conjunto é uma base de R 3 , precisamos conhecer quais são as condições para um conjunto ser uma base!

Condições para um conjunto ser uma Base Vetorial

Vamos ver agora as regrinhas que um conjunto de vetores { v 1 , v 2 ,   v 3 , … } deve respeitar para que seja uma base de um espaço vetorial V qualquer:

  1. Esses vetores têm que ser linearmente independentes, ou seja, nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear de outros vetores desse conjunto;
  2. Qualquer vetor do espaço V pode ser escrito como combinação linear dos vetores desse conjunto (quando isso acontece, dizemos que os vetores do conjunto geram o espaço V ).

Um conceito muito importante que surge quando falamos das bases é o conceito de dimensão de um espaço vetorial. A dimensão é dada pelo número de vetores da base do espaço. Em nosso exemplo anterior, tínhamos três vetores { 1,0 , 0 ; 0,1 , 0 ; ( 0,0 , 1 ) } a gente ainda vai verificar se esse conjunto é uma base mas caso seja, o espaço R 3 possui dimensão igual a três.

Vem comigo ver como que isso tudo funciona na prática?

Vamos voltar para o nosso exemplo. A gente viu que o conjunto { 1,0 , 0 ; 0,1 , 0 ; ( 0,0 , 1 ) } gerava o R 3 o que bate com a segunda regra para um conjunto ser uma base vetorial. Temos que verificar agora se esse conjunto é linearmente independente.

Um dos testes que a gente usa para ver se um conjunto de vetores é LI ou LD é colocar esses vetores como sendo as linhas de uma matriz. Assim, ó:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Feito isso, a gente tem que escalonar a matriz que surgir. OPA! Nesse exemplo a matriz já veio escalonadinha... que delícia!

Com a matriz escalonada a gente vê se possuímos linhas nulas, se sim, o conjunto é LD. Se não, o conjunto é LI. Assim, olhando a nossa matriz, concluímos que esse conjunto é LI e, portanto, é uma base do espaço R 3 .

Conferindo bases nos espaço das matrizes

A gente vai ver agora como que a gente verificar se o conjunto logo abaixo é uma base do espaço vetorial M 2 R (o espalho vetorial de todas as matrizes 2 × 2 ).

B = 1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0 ; 0 0 0 1

Vamos lá!!

Vamos começar vendo se esse conjunto é linearmente independente. Eu vou ensinar aqui uma técnica para conferir essa condição que vale sempre. Então vem comigo!

É o seguinte, vamos ter que escrever uma combinação linear desses vetores da forma que a gente sempre tem feito:

a 1 0 0 0 + b 0 1 0 0 + c 0 0 1 0 + d 0 0 0 1

Feito isso, a gente vai ter que achar um a ,   b ,   c e um d que façam com que essa soma seja igual ao vetor nulo de M 2 R (uma matriz que contenha todos os seus elementos iguais a zero):

a 1 0 0 0 + b 0 1 0 0 + c 0 0 1 0 + d 0 0 0 1 = 0 0 0 0

Vamos realizar os produtos que aparecem no lado esquerdo dessa igualdade. Fazemos isso multiplicando todos os elementos das matrizes pela letra que aparece multiplicando-as:

a × 1 a × 0 a × 0 a × 0 + b × 0 b × 1 b × 0 b × 0 + c × 0 c × 0 c × 1 c × 0 + d × 0 d × 0 d × 0 d × 1 = 0 0 0 0

a 0 0 0 + 0 b 0 0 + 0 0 c 0 + 0 0 0 d = 0 0 0 0

Agora, para fazer essas somas, a gente soma somente os carinhas que estão na mesma posição em todas as matrizes: a +   0 + 0 + 0 0 + b + 0 + 0 0 + 0 + c + 0 0 + 0 + 0 + d   = 0 0 0 0

a b c d = 0 0 0 0

Agora a gente avalia essa igualdade. Duas matrizes são iguais apenas se cada um dos seus elementos forem iguais. Por essa igualdade temos que:

a = 0 b = 0 c = 0 d = 0

E achamos os valor de a ,   b ,   c e d para que a combinação linear seja igual ao vetor nulo. A gente fez tudo isso para verificar esses valores. Se a única maneira dessa combinação linear ser igual ao vetor nulo for a = b = c = d = 0 , o conjunto é dito L.I., se encontrássemos qualquer outra coisa, o conjunto seria L.D.. Como a gente achou que todos os coeficientes têm de ser iguais a zero, o conjunto B é linearmente independente!! Primeira condição para ser uma base, check!

Antes de irmos para a segunda condição, deixa só eu deixar aqui a forma geral desse método que eu ensinei para verificar se um conjunto de vetores é L.I. ou L.D.. Dado um conjunto de vetores { v 1 , v 2 , v 3 } (podiam ter quantos vetores o problema pedir), esse conjunto vai ser dito L.I. apenas se a única maneira da combinação linear:

a . v 1 + b . v 2 + c .   v 3 = 0

For com a = b = c = 0 . Caso contrário, o conjunto é dito L.D.

Leva para o coração esse métodos pois é muito útil para as matrizes!!

Voltando ao nosso problema, vamos verificar agora se o conjunto B gera o espaço M 2 ( R ) . Vamos lá, o que queremos ver é se uma matriz qualquer x y z w

Pode ser escrita como sendo uma combinação linear dos vetores do conjunto B . Ou seja, quais os valores de a ,   b ,   c e de d que nos permitem escrever:

x y z w =   a 1 0 0 0 + b 0 1 0 0 + c 0 0 1 0 + d 0 0 0 1

Como vimos anteriormente, o lado direito dessa igualdade pode ser calculado e obtemos:

x y z w =   a b c d

Lembrando que duas matrizes são iguais apenas se cada um dos seus elementos forem iguais. Por essa igualdade temos que:

a = x b = y c = z d = w

Como não encontramos nenhuma estranheza, vai ser sempre possível escrever qualquer matriz como sendo combinação linear das matrizes desse conjunto usando essas igualdades de cima. Por exemplo, a matriz:

2 3 - 1 5

Vai possuir os coeficientes

a = 2 b = 3 c = - 1 d = 5

De forma que conseguimos escrever:

2 3 - 1 5 =   2 1 0 0 0 + 3 0 1 0 0 + - 1 . 0 0 1 0 + 5 0 0 0 1

Então concluímos que o conjunto B é sim uma base do espaço M 2 ( R ) 😊

A gente ainda pode dizer, como essa base possui quatro vetores, que o espaço M 2 ( R ) possui dimensão igual a 4 !!

Boa galera, chegamos ao fim desse tópico!Mas não fique chateado, eu estarei nos exercícios esperando vocês para ficarmos feras em verificar se um conjunto é base ou não 😊

#vemparaosexercícios

Condições para um conjunto ser uma Base Vetorial

Conferindo bases nos espaço das matrizes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Verifique se o subconjunto do R 3 são L I ou L D

{ 1,2 , 3,6 }

Passo 1

Opa, tudo certinho? Vamos começar nosso estudo sobre Bases!

Epa epa epa, pera aí a matéria não é base? Por que a gente tá falando sobre a linearidade de um subconjunto??

Bom, quando a gente fala de base, temos dois pontos principais:

  • Precisamos que o conjunto seja L I
  • Determinar uma base e dimensão de cada subespaço

Então antes de começarmos a colocar a mão na massa para resolver essas bases, vamos começar treinando como ver se o sistema é L I ou L D

Passo 2

Show, a gente pode ver de um jeitinho mais fácil que normalmente

Nesse caso, temos dois vetores:

1,2 e ( 3,6 )

E esses vetores são múltiplos um do outro, se liga só:

Se multiplicarmos ( 1,2 ) pelo escalar 3 , ficamos com

3 ⋅ 1,2 = 3,6

E deu exatamente o mesmo vetor, então eles são Linearmente Dependentes!

Passo 3

Maas se isso não tiver muito fácil de visualizar, vou te mostrar aqui o método bonitinho para ver se os vetores são L I ou L D

Temos dois vetores que vamos chamar assim:

v 1 = 1,2

v 2 = ( 3,6 )

Para vermos se um sistema é L I , precisamos fazer esse esqueminha daqui:

a ⋅ v 1 + b ⋅ v 2 = 0

Detalhe, esse 0 que apareceu ali é o vetor nulo. A gente tem que tomar cuidado qual vetor nulo que a gente vai usar. Ele depende do espaço que a gente está. Não esquenta que já já eu te mostro qual que a gente usa aqui!

E para esse sistema ser L I (o que queremos para que nosso subconjunto atenda uma das condições da base) precisamos que a única maneira do esqueminha dar zero, é a = 0 e b = 0 , só assim!

Então vamos lá!

O vetor zero nesse caso é no R 2 (porque nosso vetor tem 2 coordenadas), então nosso vetor zero nesse caso é:

0 = ( 0,0 )

Show, fazendo nosso esqueminha, temos que

a 1,2 + b 3,6 = ( 0,0 )

Fazendo a distributiva, temos que

a , 2 a + 3 b , 6 b = ( 0,0 )

Para somar esses vetores, a gente tem que somar os valores que estão na mesma posição nos dois vetores. Então ficamos com:

a + 3 b , 2 a + 6 b = ( 0,0 )

Passo 4

Beleza, vamos montar um sisteminha para isso:

a + 3 b = 0 2 a + 6 b = 0

Podemos multiplicar a linha de cima por - 2

- 2 a - 6 b = 0 2 a + 6 b = 0

E somar as linhas

- 2 a - 6 b + 2 a + 6 b = 0

0 = 0

Deu verdade, então é L I ? Nãooo! Para analisar isso daí a gente vai pensar que, para qualquer (sim qualquer) valor de a e b esse nossos sisteminha vai ser verdade, então temos outros valores de a e b diferente de zero, então ele não é L I , logo ele é L D

Passo 5

Outra maneira da gente resolver isso é fazer por matriz!

Montando nossa matriz, temos

a 3 b         | 0 2 a 6 b         | 0

Vamos tentar escalonar a nossa matriz, colocar o número embaixo da primeira linha e primeira coluna como zero, pro nosso exemplo é transformar 2 a em zero!

Para isso vamos fazer L 2 → L 2 - 2 L 1

a 3 b                             | 0 2 a - 2 a 6 b - 6 b         | 0

Isso nos dá

a 3 b         | 0 0 0               | 0

Opa, zerou tudo embaixo, ou seja, pode ser descartada. Isso mostra pra gente que o sistema é L D

Resposta

O subconjunto { 1,2 , 3,6 } é L D

Exercício Resolvido #2

Verifique se o subconjunto do R 3 são L I ou L D

{ 1 , - 1,1 , ( - 1,1 , 1 ) }

Passo 1

Faaaala aí! Vamos continuar com nosso estudo sobre Bases!

Opa, pera aí a matéria não é base? Por que a gente tá falando sobre a linearidade de um subconjunto??

Bom, quando a gente fala de base, temos dois pontos principais:

  • Precisamos que o conjunto seja L I
  • Determinar uma base e dimensão de cada subespaço

Então antes de começarmos a colocar a mão na massa para resolver essas bases, vamos começar treinando como ver se o sistema é L I ou L D

Passo 2

Show, vamos lá então! Temos dois vetores que vamos chamar assim:

v 1 = 1 , - 1,1

v 2 = ( - 1,1 , 1 )

Para vermos se um sistema é L I , precisamos fazer esse esqueminha daqui:

a ⋅ v 1 + b ⋅ v 2 = 0 →

E para esse sistema ser L I (o que queremos para que nosso subconjunto atenda uma das condições da base) precisamos que a única maneira do esqueminha dar zero, é a = 0 e b = 0 , só assim!

Então vamos lá!

O vetor zero nesse caso é no R 3 (porque nosso vetor tem 3 coordenadas), então nosso vetor zero nesse caso é:

0 → = ( 0,0 , 0 )

Montando nosso esqueminha é:

a 1 , - 1,1 + b - 1,1 , 1 = ( 0,0 , 0 )

Fazendo a distributiva, ficamos com

a , - a , a + - b , b , b = 0,0 , 0

Somando esses vetores, ficamos com

a - b , - a + b , a + b = 0,0 , 0

Passo 3

Show, agora vamos montar um sisteminha bonito para isso:

a - b = 0 - a + b = 0 a + b = 0

Vamos somar as duas últimas linhas!

- a + b + a + b = 0

Opa, a gente pode ver que os a ’s vão cortar, ficamos então com

2 b = 0

b = 0

Show, achamos o valor de b , agora vamos substituir em alguma linha para achar o valor de a

Pode ser a primeira linha 😊

a - b = 0

Como b = 0

a - 0 = 0

a = 0

Opa, então o único jeito de

a 1 , - 1,1 + b - 1,1 , 1 = ( 0,0 , 0 )

É a = 0 e b = 0

Então o subconjunto é L I !

Resposta

O subconjunto { 1 , - 1,1 , ( - 1,1 , 1 ) } é L I

Exercício Resolvido #3

Determine uma base e a dimensão do seguinte subespaço:

V = R 3 ; U = { 2 y , y , y   ϵ   R 3 }

Passo 1

Faaala aí galerinha! Vamos para mais uma questão de bases!! Uhul

Show, ele pede a base e a dimensão de um subespaço, lembrando que o subespaço é um subconjunto do espaço vetorial e se comporta da mesma forma que o espaço vetorial!

Belezinha, mas agora vamos falar sobre as bases, precisamos:

  • Determinar uma base e dimensão de cada subespaço
  • Verificar se o conjunto é L I ou L D

Passo 2

Vamos lá então!

Temos que o nosso vetor é desse jeitinho aqui:

2 y , y , y

Podemos colocar y em evidência nesse vetor e ficamos assim:

y ( 2,1 , 1 )

Então, podemos concluir que

U = [ 2,1 , 1 ]

Ou seja, U é gerado pelo vetor ( 2,1 , 1 )

Passo 3

Beleza pura! Achamos a base, agora vamos ver se ele é L I ou L D

Nosso vetorzinho gerador é o ( 2,1 , 1 ) , para vermos se ele é L I ou L D , precisamos que:

a ⋅ v 1 =   0 →

Como estamos em R 3 temos que o vetor nulo é 0,0 , 0

a 2,1 , 1 = 0,0 , 0

O único jeito disso acontecer é

a = 0

E isso mostra pra gente que o conjunto é L I

Show, então ( 2,1 , 1 ) é uma base de U

Passo 4

Agora que já vimos que 2,1 , 1 é uma base, vamos ver qual é a dimensão!

Lembrando que:

“A dimensão de U   é o número de vetores da base”

Como nossa base só tem um vetor, a base é um!

dim ⁡ U = 1

Resposta

( 2,1 , 1 ) é uma base de U e a dim ⁡ U = 1

Exercício Resolvido #4

Determine a dimensão e uma base para o seguinte espaço vetorial

A = { x , y , z ϵ   R 3 | y = 3 x }

Passo 1

Opa, fala aiii! Vamos para mais uma questão de Bases!

Beleza, a questão quer uma base e a dimensão do espaço vetorial, lembrando que

“A dimensão de U   é o número de vetores da base”

Então vamos partir pra cima e encontrar essa base!

Passo 2

De acordo com o enunciado, temos que o espaço vetorial é

A = { x , y , z ϵ   R 3 | y = 3 x }

Vamos fazer essa mudança

y = 3 x

Ficando com

x , 3 x , z

Agora, vamos separar esse vetor em dois vetores, um só com x e um só com z

x , 3 x , 0 + 0,0 , z

(tá vendo que a soma deles é exatamente o vetor de cima né? Então show)

Beleza, agora vamos colocar x e z em evidência!

x ⋅ 1,3 , 0 + z ⋅ ( 0,0 , 1 )

Opa, vamos entender o que aconteceu aqui?

Nós achamos que qualquer vetor desse espaço vetorial A pode ser escrito com essa carinha aí de cima: um x qualquer que multiplica o vetor ( 1,3 , 0 ) e um z qualquer que multiplica o vetor ( 0,0 , 1 ) . Esses dois vetores que apareceram são os vetores da base que a gente queria!! Nossa base é então

{ 1,3 , 0 , 0,0 , 1 }

E como temos dois vetores na base, a dimensão é dois

dim ⁡ A = 2

Resposta

Base:   { 1,3 , 0 , 0,0 , 1 }

dim ⁡ A = 2

Exercício Resolvido #5

Determine uma base e a dimensão do seguinte subespaço

V = R 3 ,   U = x , y , z z = x - 3 y }

Passo 1

Opa galerinha, tudo certinho? Vamos para mais uma questão de bases 😊

Show, ele pede a base e a dimensão de um subespaço, lembrando que o subespaço é um subconjunto do espaço vetorial e se comporta da mesma forma que o espaço vetorial!

Belezinha, mas agora vamos falar sobre as bases, precisamos:

  • Determinar uma base e dimensão de cada subespaço
  • Verificar se o conjunto é L I ou L D

Passo 2

Vamos lá então!

Se pegarmos um vetor qualquer do R 3 :

( x , y , z )

E substituirmos o valor de z que o exercício nos fala que é a característica do subespaço U , temos que o nosso vetor é desse jeitinho aqui:

x , y , x - 3 y

Vamos separar esse vetor em dois: o que tem x e o que tem y , se liga aqui

x , 0 , x + 0 , y , - 3 y

Se fizer essa soma dá o nosso vetorzinho de cima, show?

Agora o que a gente vai fazer é colocar x   e y   em evidência nesse vetor e ficamos assim:

x 1,0 , 1 + y ( 0,1 , - 3 )

Então, podemos concluir que

U = [ 1,0 , 1 , 0,1 , - 3 ]

Ou seja, U é gerado pelos vetores 1,0 , 1 , 0,1 , - 3

Passo 3

Beleza pura! Achamos a base, agora vamos ver se ele é L I ou L D

Para vermos se os vetores da base são L I ou L D , precisamos que:

a ⋅ v 1 + b ⋅ v 2 =   0 →

Como estamos em R 3 temos que o vetor nulo é 0,0 , 0 , e os vetores da base são aqueles que a gente achou agora há pouco:

a 1 , 0 , 1 + b 0,1 , - 3 = 0,0 , 0

Fazendo a distributiva, temos que:

a , 0 , a + 0 , b , - 3 b = 0,0 , 0

Somando os vetores temos que:

a , b , a - 3 b = 0,0 , 0

Show de bolinhas, vamos montar um sisteminha então para descobrir a e b

a = 0 b = 0 a - 3 b = 0

Show! Da primeira e segunda a gente tem que a = 0 e b = 0 . Vamos ver se isso se encaixa na terceira linha:

a - 3 b = 0 - 3.0 = 0 0 = 0

Como chegamos em uma relação que é verdade, 0 = 0 , então, o único jeito de a ⋅ v 1 + b ⋅ v 2 =   0 →   acontecer é se

a = 0   e   b = 0

E isso mostra para a gente que o conjunto é L I

Show, então 1,0 , 1 , 0,1 , - 3 é base de U

Passo 4

Agora que já vimos que 1,0 , 1 , 0,1 , - 3 é uma base, vamos ver qual é a dimensão!

Lembrando que:

“A dimensão de U   é o número de vetores da base”

Como nossa base só tem dois vetores, a base é dois!

dim ⁡ U = 2

Resposta

{ 1,0 , 1 , 0,1 , - 3 } é uma base de U e a dim ⁡ U = 2

Exercício Resolvido #6

No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para imagem da transformação

T x , y = ( x + y , x )

analise as opções a seguir:

I - 1,1 , 1,0

I I - 1,1 , 0,1

I I I - 0,1 , 1,0

I V - [ ( 1,1 ) ]

Passo 1

Faaala aí, vamo que vamo para uma questão sobre Base!

Bom o enunciado dá pra gente a transformação

T x , y = x + y , x

Vamos focar só no vetor

x + y , x

Show, agora vamos separar esses x do y , ficando com

x , x + y , 0

Opa, já estamos começando a ter uma forminha

Agora, podemos colocar x e y em evidência!

x 1,1 + y ( 1,0 )

Passo 2

Show, então temos que

1,1 , ( 1,0 ) vai ser a base da nossa transformação, tranquilinho?

Para qualquer valor de x e y conseguimos formar todos os vetores da nossa transformação!

E a opção que tem essa base é

I - 1,1 , 1,0

Resposta

I - 1,1 , 1,0

Exercício Resolvido #7

Seja H o subespaço definido por:

H =   < 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 ,   0 ,   2 ,   - 4 >

O conjunto abaixo é base de H ?

  2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4

Passo 1

Faaaaala aí! Bora para mais uma questão sobre Bases!

Vamos para o que interessa então:

Para termos uma base, precisamos que:

  • O conjunto seja L I ;
  • Determinar uma base e dimensão de cada subespaço.

Passo 2

Galera, quando a gente tem mais de 2 vetores em um conjunto que é para a gente descobrir se é ou não uma base, vale a pena usarmos as matrizes!

Para descobrirmos se esses vetores da base são L I basta jogarmos eles numa matriz e escalonarmos:

2 - 1 - 1 2 - 2 1 - 4 1 4

Na segunda linha, L 2 vamos substituir por L 2 - L 1

E na terceira linha L 3 , vamos substituir por L 3 + 2 L 1 , ficando com:

→ L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 + 2 L 1 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 - 1 2

Agora, vamos substituir a 3ª linha por L 3 - L 2

→ L 3 ← L 3 - L 2 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 0

Opa, opa, opa! Quando tentamos escalonar, acabamos zerando uma das linhas... E aí?

Quando escalonamos uma matriz composta com um conjunto de vetores e acabamos zerando uma das linhas a gente diz que esses vetores são LD.

Então não, o conjunto não é base de H .

Resposta

2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 não é base de H

Exercício Resolvido #8

Seja o subespaço S de M 2 × 2 :

S = a b c d c = a + b   e   d = a }

O conjunto

1 - 1 0 1 ,   2 1 3 4

É uma base de S ?

Passo 1

Opaa, e aí galerinha, vamos lá para mais uma questão sobre Bases!

Para compararmos, precisamos saber antes quem é a base de S .

Sendo assim, vamos encontrar os geradores para o conjunto:

Como c = a + b e d = a , vamos reescrever nossa matriz assim:

a b c d = a b a + b a

Agora vamos separar as variáveis a e b , ficando com:

a 0 a a + 0 b b 0

Agora, vamos colocar a e b em evidência!

a 1 0 1 1 + b 0 1 1 0

Ihhh caramba, os vetores deram diferentes então não é uma base, correto?? ERRADO!!

Se essas matrizes que achamos forem uma Combinação Linear, da base indicada no enunciado, não tem problema algum! Sendo assim, vamos verificar isso.

Passo 2

Se você perceber podemos escrever 1 - 1 0 1 como uma Combinação Linear de 1 0 1 1 , 0 1 1 0 , essa matriz vai ser válida. No fundo a gente tem que ver se existe um a e um b nesse sistema aqui:

1 - 1 0 1 = a 1 0 1 1 + b 0 1 1 0 1 - 1 0 1 =   a b a + b a

Comparando termo a termo, conseguimos montar o sistema:

a = 1 b =   - 1 a + b =   0   a = 1

As duas primeiras linhas e a última nos dão os valores de um a e b , vamos ver se esses valores se encaixam na terceira linha:

a + b = 0 1 + - 1 = 0

Então existe a e b . então a matriz 1 - 1 0 1 é valida!

Já para a segunda vamos testar de novo essa igualdade:

2 1 3 4 = a b a + b a

Temos que

2 = a 1 = b 3 = a + b 4 = a

Uééé como que a = 2 na primeira linha e a = 4 na última??? Não existe valor de a !

Como podemos ver a primeira e a última equação se contradizem e, portanto, a equação é impossível.

Logo, 2 1 3 4 não é uma C L de 1 0 1 1 , 0 1 1 0 e o conjunto do enunciado não é uma base de S .

Resposta

Não é uma base de S

Exercício Resolvido #9

Seja V = R 3 e o conjunto B = 1,1 , 0 , 0,1 , 1 , 1,2 , 1 ⊂ R 3 .

Mostrar que B não é base do R 3

Passo 1

Faaala aí, tudo certinho? Espero que sim porque vamos para mais uma questão sobre Bases!

O enunciado diz pra gente que o conjunto é

B = 0,1 , 1 , 1,1 , 0 , 1,2 , 1

E precisamos mostrar ele não que uma base do R 3

Para esse conjunto ser uma base de R 3 , precisamos:

  • Que o conjunto seja L I ;
  • Qualquer vetor do R 3 possa ser escrito como combinação linear desses vetores.
  • Como o enunciado diz que ele não é uma base, uma dessas afirmações estará errada, ou as duas, mas se acharmos uma já prova que o conjunto não é base 😊

    Passo 2

    Sem mais delongas, vamos começar pela primeira

  • Verificar se o conjunto é L I

Vamos começar dando nome aos bois, temos 3 vetores dentro do nosso conjunto, são eles:

v 1 = 1,1 , 0

v 2 = 0,1 , 1

v 3 = 1,2 , 1

Bom, se olharmos bem, podemos ver que

v 3 = v 1 + v 2

Isso faz com que nosso sistema seja Linearmente Dependente (porque um dos vetores depende dos outros dois).

Passo 2

Maaas se não percebemos isso, podemos fazer do jeitão clássico!

Podemos montar uma matriz, desse jeitinho aqui:

v 1 v 2 v 3

Para que o sistema seja L I , ao escalonarmos a matriz, não poderemos ter nenhuma linha com todos os valores dando zero nem linhas repetidas, então vamos lá!

Montando a matriz, temos:

1 1 0 0 1 1 1 2 1

Show, para escalonar precisamos, primeiro, que todos os valores embaixo do 1 que está na primeira coluna da primeira linha sejam iguais a zero!

Para isso precisamos eliminar o 1 da primeira coluna da última linha. Faremos então a seguinte substituição

L 3 = L 3 - L 1

Vamos ficar então com

1 1 0 0 1 1 1 - 1 2 - 1 1 - 0

Que dá

1 1 0 0 1 1 0 1 1

Opaa, já achamos que a linha 2 é igual a linha 3, então o sistema é Linearmente Dependente

Como o sistema é L D , mostramos que   B não é base de R 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #10

Determinar a dimensão e uma base para o seguinte subespaço vetorial de M 2 x 2

B = a b c d ; b = a + c   e   d = c

Passo 1

Faaaaala aí! Vamos para mais uma questão sobre bases! UHUL

Bom o enunciado pede para a gente uma dimensão e uma base, então vamos relembrar como encontramos a dimensão, temos um ditado que diz que:

“A dimensão de U   é o número de vetores da base”

Então vamos partir pra cima e encontrar essa base!

Passo 2

Para começar, vamos montar essa matriz considerando a restrição do enunciado, temos que

a b c d ; b = a + c   e   d = c

Nossa matriz fica então

a a + c c c

Agora vamos dar uma separada nessa matriz, separando as variáveis

a a 0 0 + 0 c c c

(Somando essas duas matrizes dá exatamente a de cima, se ligou?)

Agora vamos colocar a e c em evidência!

a ⋅ 1 1 0 0 + c ⋅ 0 1 1 1

E a base é exatamente essas matrizes que encontramos, que são

1 1 0 0 , 0 1 1 1

Opa, então temos duas matrizes na base então a dimensão é dois

dim ⁡ B = 2

Resposta

B a s e =   { 1 1 0 0 , 0 1 1 1 }

dim ⁡ B = 2

Exercícios de Livros Relacionados

(b) S = {O, (1/ √2, −1/√2, 0), (0, 0, 1), (1/√2, 1/√2, 0)} e P = (2, −1, 2);