Enunciado

Mostre que a amplitude focal da hipérbole é 2 b^2 // a .

Passo 1

Vamos lá! Estamos trabalhando aqui com uma hipérbole. Precisamos provar então uma relação para sua amplitude focal.

Para facilitarmos a nossa vida, vamos assumir que a hipérbole está centrada na origem e com focos no eixo O x (isto não impacta na nossa análise em problema nenhum).

Portanto, a nossa hipérbole possui a seguinte equação:

(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1

E focos nos pontos F = (+- c , a) , onde c = sqrt(a^2 + b^2) .

Passo 2

Certo. Utilizamos o passo 1 para definir a nossa hipérbole. Mas não é isto que a questão quer! Ela quer saber o comprimento da amplitude focal! Como proceder em relação a isso?

Antes de tudo. O que é a amplitude focal???

Bom, amplitude focal nada mais é do que uma corda da hipérbole (toca em dois pontos) e que é perpendicular ao segmento focal. Podemos ver abaixo a amplitude focal (segmento em vermelho):

Portanto, nosso trabalho é identificar quais são as coordenadas destes pontos que pertencem a hipérbole e são perpendiculares ao segmento focal e depois calcularmos a distância entre dois pontos!

E bom, podemos fazer isto de uma forma bem simples. Vamos analisar para os pontos A e B (mesmo procedimento para o ponto C e D ). Como pode ser observado pela imagem, os pontos A e B estão bem acima/abaixo do ponto F 1 = (- c , 0) . Portanto, eles possuem a mesma coordenada x do foco F 1 .

Em outras palavras, podemos escrever as coordenadas do ponto A da seguinte forma: A = (- c , y_0) . A questão é descobrir quem é este y_0 que satisfaça a equação da hipérbole, visto que assumimos que o ponto A pertence a hipérbole!

Passo 3

Vamos descobrir agora quem é este y_0 das coordenadas de A . Então, basta substituirmos as coordenadas de A na equação da hipérbole! Portanto,

(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1

((- c)^2)/(a^2) - (y_0^2)/(b^2) = 1

(y_0^2)/(b^2) = (c^2)/(a^2) - 1

y_0^2 = b^2 * ((c^2 - a^2)/(a^2))

Só que c^2 = a^2 + b^2 , pela definição da hipérbole. Portanto,

y_0^2 = b^2 * ((a^2 + b^2 - a^2)/(a^2)) = b^2 * (b^2)/(a^2) = (b^4)/(a^2)

Tirando a raiz, vamos obter:

y_0 = +- (b^2)/(a)

Cuidado para não se esquecerem do sinal negativo também! Enquanto o positivo será a coordenada do ponto A , o valor negativo será o do ponto B . Portanto, temos os seguintes pontos:

A = (- c , (b^2)/(a))

B = (- c , - (b^2)/(a))

OBS: Se tivéssemos analisados os pontos C e D , a única diferença das coordenadas dos pontos seria a coordenada x , que teria o valor c . O valor de y_0 também seria +- b^2 // a .

Agora, só nos resta calcularmos a distância dos dois pontos para sabermos o comprimento do segmento focal. Portanto,

d (A , B) = sqrt((- c - (- c))^2 + ((b^2)/(a) - (- (b^2)/(a)))^2)

d (A , B) = sqrt((- c + c)^2 + ((b^2)/(a) + (b^2)/(a))^2)

d (A , B) = sqrt((0)^2 + ((2 b^2)/(a))^2) = (2 b^2)/(a)

E assim provamos a relação da questão!

Resposta

d (A , B) = (2 b^2)/(a)

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