Enunciado

13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.

Passo 1

Um operador F ser idempotente significa que:

F 2 = F

E um operador, F , é nilpotente se existir um certo número natural, n , que faça com que:

F n = 0

Passo 2

b)

Esse operador inverte a ordem das componentes do vetor, dessa forma não importa quando vezes façamos essa operação nunca obteremos um vetor nulo, ou seja, não é nilpotente.

Se fizermos duas vezes a operação:

F 2 x ,   y ,   z = F F x ,   y ,   z

F 2 x ,   y ,   z = F z ,   x ,   y

F 2 x ,   y ,   z = - - x ,   - - y ,   - - z

F 2 x ,   y ,   z = y ,   z ,   x

E esse resultado é diferente de quando aplicamos só uma vez o operador:

F 2 x ,   y ,   z ≠ F x ,   y ,   z

Pois

y ,   z ,   x ≠ z ,   x ,   y

Dessa forma, o vetor também não é idempotente.

Resposta

Não é idempotente nem nilpotente.

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Nos Exercícios 1 – 4 , encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A. [Observação: cada matriz aparece no Conjunto de exercícios 9.5 , onde foi pedida a decomposição em valores singula
Nos Exercícios 5 – 8 , encontre uma expansão em valores singulares reduzida de A. A matriz A do Exercício 3 .
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