Enunciado

14. Prove a parte (d) do Teorema 9.5.1 usando a parte (a) desse teotema e o fato de que A e A T A têm n colunas.

Passo 1

Bem... vamos usar aqui o teorema (que tem em capítulos anteriores) da dimensão para transformações linear. E que também é super chamado de teorme do núcleo e imagem.

p o s T + n u l T = n

Em outra palavras: a nulidade + o posto da matriz é igual ao número de colunas.

Como têm o mesmo número de colunas, então:

p o s A + n u l A = p o s A T A + n u l A T A

Como foi provado na parte (a) que:

n u l A = n u l A T A

Então...

p o s A = p o s A T A

Como queríamos demonstrar.

Resposta

p o s A = p o s A T A

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Sejam F ∈ L R 2 ,R 3 e G ∈ L R 3 ,R 2 ) assim definidas: F x ,y = 0 ,x ,x - y e G x ,y ,z = ( x - y ,x + 2 y + 3 z ) . Determinar F ∙ G ∙ F .
Sendo F , G e H ∈ L R 2 definidos por F x , y = x ,2 y , G x , y = y , x + y e H x , y = 0 ,x , determinar F + H , F ∙ G , G ∙ H + F , G ∙ F , H ∙ F , H ∙ F ∙ G e , G ∙ F ∙ H .
13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
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