14. Seja definido por:
(a) Encontre os autovalores de .
(b) Encontre bases dos autoespaços de .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho?
Nesse problema foi dada uma transformação
E nosso objetivo é:
a) calcular os autovalores de .
b) calcular os autoespaços de .
Lembra como fazemos isso?
Para resolver esse problema, a primeira coisa que temos que fazer é escrever a matriz na base canônica de .
Em que cada base forma um vetor da matriz .
Depois, para calcular os autovalores de , temos que encontrar o polonômio característico de pela fórmula.
Assim, os autovalores são obtidos pelas raízes do polinômio.
E por fim, os autoespaços são formados pelo conjunto dos autovetores dessa matriz.
Para encontrar os autovetores, temos que encontrar o vetor que:
Bora começar?
Passo 2
Como vimos no passo 1, vamos primeiro escrever na base canônica:
Para :
Para :
Para :
E para :
Agora escrevemos cada resultado em uma coluna da matriz , ou seja:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora que temos a matriz escrita na base canônica de , temos que encontrar o polinômio característico .
E os autovalores de são as raízes desse polinômio, ou seja:
Bacana, não é?
Passo 4
Por fim, temos que encontrar o autoespaço de .
Como vimos no passo 1, o autoespaço de uma matriz é formada pelo conjunto dos seus autovetores.
Já os autovetores de uma matriz é obtido por:
Para , temos:
Escalonando a matriz , temos:
Com isso, vemos que e se , então uma base para é:
Para :
Escalonando a matriz:
Perceba que novamente e consequentemente, como :
Show?
Passo 5
E por fim, para :
Escalonando a matriz...
Com isso, vemos que , logo:
E finalmente, o autoespaço da transformação é:
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
(a)
(b)