14. Seja T: M_22 → M_22 definido por:

T a b c d = 2 c a + c b - 2 c d

(a) Encontre os autovalores de T .

(b) Encontre bases dos autoespaços de T .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho?

Nesse problema foi dada uma transformação T : M 22 → M 22

T a b c d = 2 c a + c b - 2 c d

E nosso objetivo é:

a) calcular os autovalores de T .

b) calcular os autoespaços de T .

Lembra como fazemos isso?

Para resolver esse problema, a primeira coisa que temos que fazer é escrever a matriz T na base canônica de M 22 .

C a n M 22 = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

Em que cada base forma um vetor da matriz T .

Depois, para calcular os autovalores de T , temos que encontrar o polonômio característico de T pela fórmula.

p λ = det ⁡ T - λ I

Assim, os autovalores são obtidos pelas raízes do polinômio.

E por fim, os autoespaços são formados pelo conjunto dos autovetores dessa matriz.

Para encontrar os autovetores, temos que encontrar o vetor v → que:

T - λ i I v → i = 0 →

Bora começar?

Passo 2

Como vimos no passo 1, vamos primeiro escrever T na base canônica:

Para 1 0 0 0 :

T 1 0 0 0 = 2 · 0 1 + 0 0 - 2 · 0 0 = 0 1 0 0

Para 0 1 0 0 :

T 0 1 0 0 = 2 · 0 0 + 0 1 - 2 · 0 0 = 0 0 1 0

Para 0 0 1 0 :

T 0 0 1 0 = 2 · 1 0 + 1 0 - 2 · 1 0 = 2 1 - 2 0

E para 0 0 0 1 :

T 0 0 0 1 = 2 · 0 0 + 0 0 - 2 · 0 1 = 0 0 0 1

Agora escrevemos cada resultado em uma coluna da matriz T , ou seja:

T = 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 - 2 0 0 0 0 1

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora que temos a matriz T escrita na base canônica de M 22 , temos que encontrar o polinômio característico p λ .

p λ = det ⁡ T - λ I = 0 - λ 0 2 0 1 0 - λ 1 0 0 1 - 2 - λ 0 0 0 0 1 - λ

p λ = λ 3 + 2 λ 2 - λ - 2

E os autovalores de T são as raízes desse polinômio, ou seja:

p λ = λ 3 + 2 λ 2 - λ - 2 → λ 1 = 1 λ 2 = - 1 λ 3 = - 2

Bacana, não é?

Passo 4

Por fim, temos que encontrar o autoespaço de T .

Como vimos no passo 1, o autoespaço de uma matriz é formada pelo conjunto dos seus autovetores.

Já os autovetores de uma matriz é obtido por:

T - λ i I v → i = 0 →

Para λ 1 = 1 , temos:

0 - 1 0 2 0 1 0 - 1 1 0 0 1 - 2 - 1 0 0 0 0 1 - 1 u 1 u 2 u 3 u 4 = 0 0 0 0

- 1 0 2 0 1 - 1 1 0 0 1 - 3 0 0 0 0 0 u 1 u 2 u 3 u 4 = 0 0 0 0

Escalonando a matriz T - λ i I , temos:

1 0 - 2 0 0 1 - 3 0 0 1 - 3 0 0 0 0 0 u 1 u 2 u 3 u 4 = 0 0 0 0

Com isso, vemos que u 2 = u 3 e se u 2 = u 3 = 1 , então uma base para λ = 1 é:

v → 1 = t 2 1 1 0 + s 0 0 0 1

B a s e λ = 1 = 2 1 1 0 , 0 0 0 1

Para λ 2 = - 1 :

0 - - 1 0 2 0 1 0 - - 1 1 0 0 1 - 2 - - 1 0 0 0 0 1 - - 1 w 1 w 2 w 3 w 4 = 0 0 0 0

1 0 2 0 1 1 1 0 0 1 - 1 0 0 0 0 2 w 1 w 2 w 3 w 4 = 0 0 0 0

Escalonando a matriz:

1 0 2 0 0 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 0 0 2 w 1 w 2 w 3 w 4 = 0 0 0 0

Perceba que novamente w 2 = w 3 = 1 e consequentemente, como 2 w 4 = 0 :

v → 2 = t - 2 1 1 0

B a s e λ 2 = - 1 = - 2 1 1 0

Show?

Passo 5

E por fim, para λ 3 = - 2 :

0 - - 2 0 2 0 1 0 - - 2 1 0 0 1 - 2 - - 2 0 0 0 0 1 - - 2 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

2 0 2 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 - 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Escalonando a matriz...

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 - 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Com isso, vemos que u 1 = u 3 , logo:

v → 3 = 1 0 1 0

B a s e λ = - 2 = 1 0 1 0

E finalmente, o autoespaço da transformação T é:

B a s e T = 2 1 1 0 , 0 0 0 1 ,   - 2 1 1 0 ,   1 0 1 0

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

(a) λ 1 = 1 λ 2 = - 1 λ 3 = - 2

(b) B a s e T = 2 1 1 0 , 0 0 0 1 ,   - 2 1 1 0 ,   1 0 1 0

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