Enunciado

13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.

Passo 1

Um operador F ser idempotente significa que:

F 2 = F

E um operador, F , é nilpotente se existir um certo número natural, n , que faça com que:

F n = 0

Passo 2

c)

Esse operador apenas zera o termo da componente y do vetor, dessa forma não importa quando vezes façamos essa operação nunca obteremos um vetor nulo, ou seja, não é nilpotente.

Se fizermos duas vezes a operação:

F 2 x ,   y ,   z = F F x ,   y ,   z

F 2 x ,   y ,   z = F x ,   0 ,   z

F 2 x ,   y ,   z = x ,   0 ,   z

E esse resultado é o mesmo de quando aplicamos só uma vez o operador:

F 2 x ,   y ,   z = F x ,   y ,   z

Pois

x ,   0 ,   z = x ,   0 ,   z

Dessa forma, o vetor é idempotente.

Resposta

O vetor é idempotente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam V e W espaços vetoriais, T, T1 e T2 transformações lineares de V em W e k um escalar. Defina novas transformações T 1 + T 2 e k T pelas fórmulas T 1 + T 2 x = T 1 x + T 2 ( x ) k T x = k ( T x )
Se T x 1 ,x 2 = ( x 1 + x 2 ,- x 2 ,3 x 1 ) , então o domínio de T é _____, o contradomínio de T é _____ e a imagem de x = ( 1 ,- 2 ) por T é ______________.
Se T x 1 ,x 2 ,x 3 = ( x 1 + 2 x 2 ,x 1 - 2 x 2 ) , então o domínio de T é _____, o contradomínio de T é _____ e a imagem de x = ( 0 ,- 1 ,4 ) por T é ______________.
Suponha que A seja uma matriz 200 × 500 . Quantos números devem ser armazenados na aproximação de posto 100 de A ? Compare isso com o número de entradas de A .
Nos Exercícios 5 – 8 , encontre uma expansão em valores singulares reduzida de A. A matriz A do Exercício 2 .