Enunciado

15. Encontre o polinômio cúbico cujo gráfico passa pelos pontos (-1,-1), (0,1), (1,3), (4,-1).

Passo 1

Com esses quatro ponto teremos essas quatro equações:

Do ponto 0 ,   1 :

a 0 + a 1 ⋅ 0 + a 2 ⋅ 0 2 + a 3 ⋅ 0 3 = 1

a 0 = 1

Do ponto - 1 ,   - 1 :

a 0 + a 1 ⋅ - 1 + a 2 ⋅ - 1 2 + a 3 - 1 3 = - 1

a o - a 1 + a 2 - a 3 = - 1

Como a 0 = 1 :

1 - a 1 + a 2 - a 3 = - 1

- a 1 + a 2 - a 3 = - 2

Do ponto 1 ,   3 :

a 0 + a 1 ⋅ 1 + a 2 ⋅ 1 2 + a 3 ⋅ 1 3 = 3

a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 3

Como a 0 = 1 :

1 + a 1 + a 2 + a 3 = 3

a 1 + a 2 + a 3 = 2

Do ponto 4 ,   - 1 :

a 0 + a 1 ⋅ 4 + a 2 ⋅ 4 2 + a 3 ⋅ 4 3 = - 1

a 0 + 4 a 1 + 16 a 2 + 64 a 3 = - 1

Como a 0 = 1 :

1 + 4 a 1 + 16 a 2 + 63 a 3 = - 1

4 a 1 + 16 a 2 + 6 4 a 3 = - 2

2 a 1 + 8 a 2 + 32 a 3 = - 1

O sistema formado por essas equações é o seguinte:

- a 1 + a 2 - a 3 = - 2 a 1 + a 2 + a 3 = 2 2 a 1 + 8 a 2 + 32 a 3 = - 1

Escrevendo na forma matricial:

- 1 1 - 1 1 1 1 2 8 32 ⋅ a 1 a 2 a 3 = - 2 2 - 1

E escrevendo a matriz estendida:

- 1 1 - 1 1 1 1 2 8 32 - 2 2 - 1

Passo 2

Vamos escalonar a matriz para encontrar a solução do sistema.

Trocando a primeira e a segunda linha de lugar:

1 1 1 - 1 1 - 1 2 8 32 2 - 2 - 1

Somando a primeira equação na segunda:

1 1 1 0 2 0 2 8 32 2 0 - 1

Dividindo a segunda linha por 2 :

1 1 1 0 1 0 2 8 32 2 0 - 1

Somando - 2 vez a primeira equação na terceira:

1 1 1 0 1 0 0 6 3 0 2 0 - 5

Somando - 6 vez a segunda equação na terceira:

1 1 1 0 1 0 0 0 30 2 0 - 5

Dividindoa a terceira equação por 30:

1 1 1 0 1 0 0 0 1 2 0 - 1 / 6

Somando - 1 vez a terceira equação na primeira:

1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 3 / 6 0 - 1 / 6

Somando - 1 vez a segunda equação na primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 13 / 6 0 - 1 / 6

Ou seja, a solução do sistema é:

a o a 1 a 2 a 3 = 1 13 / 6 0 - 1 / 6

A equação fica:

y = - x 3 6 + 13 6 x + 1

Resposta

y = - x 3 6 + 13 6 x + 1

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Em cada parte, suponha que a matriz amuentada de um sistema de equações: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 7 3 1 8 2 - 5 Tenha sido reduzida à dada forma escalonada por meio de operações elementares sobre as linhas
Em cada parte, determine se a matriz: 1 0 0 1 3 2 1 4 está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma
Em cada parte, suponha que a matriz amuentada de um sistema de equações: 1 0 0 - 3 1 0 4 2 1 7 2 5 Tenha sido reduzida à dada forma escalonada por meio de operações elementares sobre as linhas. Resolv
Em cada parte, suponha que a matriz amuentada de um sistema de equações: 1 0 0 - 3 0 0 0 1 0 0 0 1 Tenha sido reduzida à dada forma escalonada por meio de operações elementares sobre as linhas. Resolv
Em cada parte, determine se a matriz: 1 2 0 0 1 0 0 0 0 está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma