Enunciado

2. A figura dada mostra algumas taxas de fluxo de hidrocarbonetos para dentro e para fora de uma rede de canos de uma refinaria de petróleo.

(a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de fluxo desconhecidas.

(b) Resolva o sitema para as taxas de fluxo desconhecidas.

(c) Encontre as taxas de fluxo e os sentidos do fluxo se x4=50 e x6=0.

Passo 1

(a)

Como o exerciocio já adotou o sentido dos fluxos, vamo montar as equações para cada um dos 5 nós:

Nó de cima da esquerda:

x 1 + x 3 = 200

Nó de cima da direita:

x 3 + 1 50 = x 5 + x 4

- x 3 + x 4 + x 5 = 1 5 0

Nó de baixo da esquerda:

x 1 + 2 5 = x 2

- x 1 + x 2 = 25

Nó de baixo do meio:

x 2 + x 4 = x 6 + 175

x 2 + x 4 - x 6 = 175

Nó de baixo da direita:

x 5 + x 6 = 200

Essas equações formam o sistema abaixo:

x 1 + x 3 = 200 - x 3 + x 4 + x 5 = 150 - x 1 + x 2 = 25 x 2 + x 4 - x 6 = 175 x 5 + x 6 = 200

Escrevendo na forma matricial:

1 0 1 0 0 0 0 0 - 1 1 1 0 - 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 - 1 0 0 0 0 1 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 200 150 25 175 200

Escrevendo a matriz estendida:

1 0 1 0 0 0 200 0 0 - 1 1 1 0 150 - 1 1 0 0 0 0 25 0 1 0 1 0 - 1 175 0 0 0 0 1 1 200

Passo 2

(b)

Para resolver o sistema precisamos escalonar essa matriz.

Trocando a segunda com a quarta linha:

1 0 1 0 0 0 200 0 1 0 1 0 - 1 175 - 1 1 0 0 0 0 25 0 0 - 1 1 1 0 150 0 0 0 0 1 1 200

Trocando a terceira com a quarta linha:

1 0 1 0 0 0 200 0 1 0 1 0 - 1 175 0 0 - 1 1 1 0 150 - 1 1 0 0 0 0 25 0 0 0 0 1 1 200

Multiplicando a terceira linha por - 1 :

1 0 1 0 0 0 200 0 1 0 1 0 - 1 175 0 0 1 - 1 - 1 0 - 150 - 1 1 0 0 0 0 25 0 0 0 0 1 1 200

Somando a primeira linha na quarta:

1 0 1 0 0 0 200 0 1 0 1 0 - 1 175 0 0 1 - 1 - 1 0 - 150 0 1 1 0 0 0 225 0 0 0 0 1 1 200

Somando - 1 vez a segunda linha na quarta:

1 0 1 0 0 0 200 0 1 0 1 0 - 1 175 0 0 1 - 1 - 1 0 - 150 0 0 1 - 1 0 1 5 0 0 0 0 0 1 1 200

Somando - 1 vez a terceira linha na quarta:

1 0 1 0 0 0 200 0 1 0 1 0 - 1 175 0 0 1 - 1 - 1 0 - 150 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 1 1 200

Somando - 1 vez a quinta linha na sexta:

1 0 1 0 0 0 200 0 1 0 1 0 - 1 175 0 0 1 - 1 - 1 0 - 150 0 0 0 0 1 1 200 0 0 0 0 0 0 0

Agora, com o sistema escalonado, podemos reescrever na forma de equações e ir resolvendo de baixo para cima:

x 1 + x 3 = 200 x 2 + x 4 - x 6 = 175 x 3 - x 4 - x 5 = - 150 x 5 + x 6 = 200

Vamos começar definindo um variável livre:

x 6 = a

Dessa forma:

x 5 + x 6 = 200

x 5 + a = 200

x 5 = 200 - a

Indo para a próxima equação a gente vai perceber um probleminha:

x 3 - x 4 - x 5 = - 150

x 3 - x 4 - 200 - a = - 150

Vamos precisar de mais uma variável livre para conseguirmos a solução do sistema:

x 4 = b

x 3 - b - 200 - a = - 150

x 3 = 50 - a + b

Pegando a segunda equação:

x 2 + x 4 - x 6 = 175

x 2 + b - a = 175

x 2 = 175 + a - b

E por fim, a primeira equação:

x 1 + x 3 = 200

x 1 + 50 - a + b = 200

x 1 = 150 + a - b

Então a solução do sistema é a seguinte:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 15 0 + a - b 1 7 5 + a - b 5 0 - a + b b 200 - a a

Onde a e b são números reais.

Passo 3

(c)

Só precisamos substituir os valores nas equações, como:

x 4 = b = 50

e

x 6 = a = 0

Podemos escrever:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 150 + a - b 175 + a - b 50 - a + b b 200 - a a

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 150 + 0 - 50 175 + 0 - 50 50 - 0 + 50 50 200 - 0 0

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 1 0 0 1 2 5 10 0 50 200 0

Resposta

(a)

x 1 + x 3 = 200 - x 3 + x 4 + x 5 = 150 - x 1 + x 2 = 25 x 2 + x 4 - x 6 = 175 x 5 + x 6 = 200

(b)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 150 + a - b 175 + a - b 50 - a + b b 200 - a a

(c)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 100 125 100 50 200 0

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Em cada parte, determine se a matriz: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma
Em cada parte, determine se a matriz: 1 2 3 0 0 0 0 0 1 está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma
Em cada parte, suponha que a matriz amuentada de um sistema de equações: 1 0 0 - 3 1 0 7 4 0 1 0 1 Tenha sido reduzida à dada forma escalonada por meio de operações elementares sobre as linhas. Resolv
Em cada parte, determine se a matriz: 1 0 0 0 1 0 0 0 0 está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma