Enunciado

16 No tetraedro ABCD, sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios de BD, CD, e AC, e G o baricentro do triângulo MNP.

  1. Exprima B G → como combinação linear de B A → ,   B C → ,   B D → .
  2. Calcule m para que o ponto X = B + m B G → pertença ao plano da face ACD.

Passo 1

Opaa... vamos lá???

Nessa questão vamos precisar da resposta da letra a:

B G → = B A → 6 + B C → 3 + B D → 3

E pra o ponto X pertencer ao plano A C D , vamos ter que dizer que A X → ,   A C → ,   A D → são linearmente dependentes.

Passo 2

Pra gente importa que A X → ,   A C → ,   A D → sejam LD a gente usa a equação:

  1. α A X → + β A C → + γ A D → = 0

E que essa equação admita solução não-nula:

α ≠ 0 ,   β ≠ 0 , γ ≠ 0

E para usar a proposição 6.10, vamos escrever os vetores que aparecem em (i) em termos dos vetores LI B A → ,   B C → ,   B D → .

A X → = A B → + B X →

= - B A → + B X →

A C → = A B → + B D →

= - B A → + B D →

A D → = A B → + B C →

= - B A → + B C →

Passo 3

A gente não tem o B X → , né... maaaaasss a gente sabe que:

X = B + m B G →

E podemos manipular isso:

X - B = m B G →

B X → = m B G →

Vamos pegar o B G → e substituir já:

B X → = m B A → 6 + B C → 3 + B D → 3

Passo 4

Voltando pra (i):

α A X → + β A C → + γ A D → = 0

E substituindo tudo que a gente já definiu:

α - B A → + B X → + β - B A → + B D → + γ - B A → + B C → = 0

Substituindo agora o B X → :

α - B A → + m B A → 6 + B C → 3 + B D → 3 + β - B A → + B D → + γ - B A → + B C → = 0

Vamos tirar esses parênteses (haja paciência, eu sei, mas vamos fazendo aos poucos):

- α B A → + m α 6 B A → + m α 3 B C → + m α 3 B D → - β B A → + β B D → - γ B A → + γ B C → = 0

E agrupando os vetores iguais:

- α + m α 6 - β - γ B A → + m α 3 + γ B C → + m α 3 + β B D → = 0

E com isso ficamos com o sistema:

- α + m α 6 - β - γ = 0 m α 3 + γ = 0 m α 3 + β = 0

Passo 5

Pra resolver esse sistema a gente vai usar o Teorema de Cramer, que nada mais é que calcular o determinantes do coeficientes (tudo que está na frente dos alfa, beta e gamma) e igualar a zero. Tcharaaammm.. achamos o m.

- 1 + m 6 - 1 - 1 m 3 0 1 m 3 1 0 = 0

0 + - m 3 + - m 3 - 0 - - 1 + m 6 - 0 = 0

- m 3 - m 3 + 1 - m 6 = 0

m = 6 5

Ufaa... acabamos... E aí? Conseguimos ajudar? Responde aí!

Resposta

m = 6 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9. Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R 3 com quais valores reais de λ ? v 1 → = λ,- 1 2 ,- 1 2 , v 2 → = - 1 2 ,λ,- 1 2 , v 3 → = - 1 2 ,- 1 2 , λ
3. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R 4 são linearmente dependentes?(a) 3 ,8 ,7 , - 3 , 1 ,5 ,3 , - 1 ,2 ,- 1 ,2 ,6 ,( 1 ,4 ,0 ,3 ) (b) 0 ,0 ,2 ,2 , 3 ,3 ,0,0 ,1 ,1 ,0 ,- 1 (c) 0 ,3 ,- 3 ,
Sob quais condições é um conjunto de um único vetor linearmente independente?
Mostre que se S ={ v 1 ,v 2 ,...,v r } for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o é qualquer subconjunto não vazio de S .
Mostre que qualquer conjunto com mais de três vetores em P 2 é linearmente dependente.