Enunciado

18. Uma partícula percorre a trajetória OABO onde O, A e B são pontos (0,0,0), (1,1,0) e (0,1,1) respectivamente (a unidade de comprimento é o metro) com velocidade constante de 1 m/s. Se um campo elétrico induz uma força na partícula dada por:

f = 1,1 , 1   s e   0 ≤ t < 1 1,1 , - 1   s e   1 ≤ t < 2 1 , - 1,1   s e   2 ≤ t < 3 - 1,1 , 1   s e   3 ≤ t < 4 - 1 , - 1 , - 1   s e   t ≥ 4

Calcule o trabalho realizado para percorrer esta trajetória uma vez.

Passo 1

Falaaa... beleza????

Nessa questão vamos usar o produto interno dessa força maluca com o deslocamento pra calcular o trabalho.

W = F ⋅ r

Mas ta um pouco estranho isso tudo, né? Então vamos desenvolvendo aos pouquinhos.

Ilustrando um pouco qual vai ser a trajetória todo:

Mas essa força ta muito estranha, né?? Pensa aqui comigo...

Esse t   deve ser de tempo e como foi dado que a distância entre os pontos é metro e a velocidade é 1 m/s, então a gente consegue ir achar qual o vetor deslocamento em cada segundo, né??

Passo 2

Vamos pegar só o primeiro vetor:

A gente sabe que o tamanho desse vetor é:

d A B = A B →

d A B = 1 - 0 2 + 1 - 0 2 + 0 - 0 2

d A B = 2

Que é maior que 1. Então vamos gastar mais de 1 segundo pra percorrer de A até B, né...

Então vamos precisar dividir a trajetória toda de um metro em um metro... (MISERICÓRDIAA)

Mas continuando... Vai existir um ponto P x , y , z entre O   0,0 , 0 e A   1,1 , 0 que vai ter a distância d O P vai ser igual a 1 e, consequentemente, o tempo gasto de O a P vai ser 1 segundo:

Mas isso daí é um quadrado, então podemos escrever P   x , x , 0 .

E a distância:

d O P = x - 0 2 + x - 0 2 + 0 - 0 2

1 = 2 x 2

x = 2 2

Então o ponto é:

P 2 2 , 2 2 , 0

E o vetor deslocamento:

O P → = P - O

O P → = 2 2 , 2 2 , 0

Agora “só” falta achar os pontos do resto da trajetória...

Passo 3

Para o segundo 2, vamos achar mais 1 metro:

O restinho que sobrou do vetor AO dá P A → = 1 - 2 2 , 1 - 2 2 , 0

d P A = 1 - 2 2 2 + 1 - 2 2 2 + 0 - 0

d P A = 2 - 1

E confia, mas isso é menor que 1, então pra completar 1, vamos precisar achar um ponto Q   x , y , z que está entre A 1,1 , 0 e B 0,1 , 1 .

d Q A = 1 - d P A

d Q A = 1 - 2 + 1

d Q A = 2 - 2

Repara na figura:

Mas agora quem não varia é o y , que é igual a 1 de A até B... e o z varia de 0 até 1, então vamos chamar de z mesmo. Maas x varia de 1 até 0, então vamos chamar de 1 - z

Então ficamos com Q   1 - z , 1 , z e A Q → = - z , 0 , z

d Q A = 1 - z - 1 2 + 1 - 1 2 + z - 0 2

d Q A = z 2 + z 2

d Q A = z 2

Igualando:

2 - 2 = z 2

z = 2 - 1

Daí o ponto Q fica Q   2 - 2 , 1 , 2 - 1   ,

E o vetor:

  A Q → = 1 - 2 , 0 , 2 - 1

Passo 4

Será que do ponto Q até o ponto até o ponto B tem mais ou menos 1 metro?

Q B → = 2 - 2 , 0,2 - 2

d Q B = 2 - 2 2 + 0 + 2 - 2 2

d Q B = 2 2 - 2

E dá menos que 1, heim...

Então vamos passar pro próximo lado do triângulo...

Vai existir um ponto R   ( x , y , z ) entre B e O, mas como o x não varia e é igual a zero, o y e o z varia de 1 para 0, então ficamos com:

R 0,1 - y , 1 - y

Maaas:

d B R = 1 - d Q B

d B R = 3 - 2 2

E o vetor:

B R → = ( 0 , - y , - y )

Fazendo a distância:

d B R = 0 2 + - y 2 + - y 2

d B R = y 2

Igualando:

3 - 2 2 = y 2

y = 3 2 2 - 2

O ponto fica R   0,3 - 3 2 2 ,   3 - 3 2 2 e o vetor:

B R → = 0 ,   2 - 3 2 2 , 2 - 3 2 2

Passo 5

Vamos ter só mais um ponto, S x , y , z antes de chegar no ponto O , de novo...

Mas o x não vai variar e vai ser igual a zero e o y e o z continuam variando igual ao último:

Daí S   0,3 - 3 2 2 - y , 3 - 3 2 2 - y

E o vetor:

R S → = 0 , - y , - y

E a distância:

d R S = 1

d R S = 0 2 + y 2 + y 2

Igualando:

1 = y 2

y = 2 2

E o ponto fica S   0 ,   3 - 2 , 3 - 2 e o vetor (pra 3

R S → = 0 , - 2 2 , - 2 2

E pro último vetor (pra t>4):

S O → = 0 , 2 - 3 , 2 - 3

Passo 6

Calma calma que não acabou... Falta fazer o monte de produto interno pra achar o trabalho:

W = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 + W 5

Então vamos fazendo aos poucos:

Para W 1 :

W 1 = f 1 ⋅ O P →

W 1 = 1,1 , 1 ⋅ 2 2 , 2 2 , 0

W 1 = 2

Para W 2 :

W 2 = f 2 ⋅ P A → + A Q →

W 2 = 1,1 , - 1 ⋅ 1 - 2 2 , 1 - 2 2 , 0 + 1 - 2 , 0 , 2 - 1

W 2 = 1,1 , - 1 ⋅ 2 - 3 2 2 , 1 - 2 2 , 2 - 1

W 2 = 2 - 3 2 2 + 1 - 2 2 - 2 + 1

W 2 = 4 - 3 2

Para W 3 :

W 3 = f 3 ⋅ Q B → + B R →

W 3 = 1 , - 1,1 ⋅ 2 - 2 , 0,2 - 2 + 0 ,   2 - 3 2 2 , 2 - 3 2 2

W 3 = 1 , - 1,1 ⋅ 2 - 2 , 2 - 3 2 2 , 4 - 5 2 2

W 3 = 2 - 2 - 2 + 3 2 2 + 4 - 5 2 2

W 3 = 4 - 2 2

Para W 4 :

W 4 = f 4 ⋅ R S →

W 4 = - 1,1 , 1 ⋅ 0 , - 2 2 , - 2 2

W 4 = - 2

Para W 5 :

W 5 = f 5 ⋅ S O →

W 5 = - 1 , - 1 , - 1 ⋅ 0 , 2 - 3 , 2 - 3

W 5 = - 2 + 3 - 2 + 3

W 5 = 6 - 2 2

E, finalmente, fomando isso tudo:

W = 2 + 4 - 3 2 + 4 - 2 2 + - 2 + 6 - 2 2

W = 14 - 7 2

Resposta

W = 14 - 7 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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