Enunciado

Dez pares de observações foram feitas das variáveis x e y , resultando no gráfico abaixo.

  1. Qual é a correlação entre as duas variáveis?
  2. Se as unidades do eixo-x fossem 10, 20 etc., qual seria a correlação?

Passo 1

  1. Do estudo da estatística, sabemos que o coeficiente de correlação entre as duas variáveis é dado por:
  2. r = ∑ i = 1 10 ( x i - x - ) ( y i - y - ) ∑ i = 1 10 x i - x - 2 ∑ i = 1 10 y i - y - 2

    O conjunto de dados é:

    { 1,10 , 1,20 , 2,10 , 2,40 , 3,30 , 3,50 , 3,60 , 4,60 , 5,50 , 6,70 }

    Assim, temos que:

    x - = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6 10 = 3

    y - = 10 + 20 + 10 + 40 + 30 + 50 + 60 + 60 + 50 + 70 10 = 40

    Passo 2

    Vamos calcular o numerador:

    ∑ i = 1 10 x i - x - y i - y - =

    = 1 - 3 10 - 40 + 1 - 3 20 - 40 + 2 - 3 10 - 40 + 2 - 3 40 - 40 + 3 - 3 30 - 40 + 3 - 3 50 - 40 + 3 - 3 60 - 40 + 4 - 3 60 - 40 + 5 - 3 50 - 40 + 6 - 3 70 - 40 = 260

    Logo:

    ∑ i = 1 10 x i - x - y i - y - = 260

    Passo 3

    Agora vamos calcular o denominador:

    ∑ i = 1 10 x i - x - 2 = 1 - 3 2 + 1 - 3 2 + 2 - 3 2 + 2 - 3 2 + 3 - 3 2 + 3 - 3 2 + 3 - 3 2 + 4 - 3 2 + 5 - 3 2 + 6 - 3 2 = 24

    ∑ i = 1 10 y i - y - 2 =

    = 40 - 10 2 + 20 - 40 2 + 10 - 40 2 + 40 - 40 2 + 30 - 40 2 + 50 - 40 2 + 60 - 40 2 + 60 - 40 2 + 50 - 40 2 + 70 - 40 2 = 4200

    Queremos:

    24 ∙ 4200 = 120 7

    Passo 4

    Agora é só fazer a conta:

    r = 26 0 120 7 ≅ 0 , 82

    Passo 5

  3. Note que ele multiplicou todas as variáveis do eixo x por 10 . As grandezas lineares vão sofrer esta mesma variação:

10 x - = 30

∑ i = 1 10 10 x i - 10 x - y i - y - = 10 ∑ i = 1 10 x i - x - y i - y - = 260 0

∑ i = 1 10 10 x i - 10 x - 2 = 100 ∑ i = 1 10 x i - x - 2 = 2400

Disso, temos que:

∑ i = 1 10 x i - x - 2 ∑ i = 1 10 y i - y - 2 = 2400 ∙ 4200 = 10 ∙ 120 7

Note então que:

r = 10 ∙ 260 10 ∙ 120 7 ≅ 0,82

Ou seja, a correlação permanece a mesma.

Resposta

  1. 0,82 ;
  2. Não muda.
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