Enunciado

19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.

Passo 1

Como w é ortogonal a cada um dos vetores, então:

w ⋅ u 1 = 0

w ⋅ u 2 = 0

w ⋅ u f = 0

Agora vamos escolher número escalares quaiquer, ( k 1 k 2 , … , k f ) ... e definir:

g e r u 1 , u 2 , … , u f = ( k 1 u 1 , k 2 u 2 , … , k f u f )

Passo 2

Fazendo o produto interno:

w ⋅ k 1 u 1 = k 1 w ⋅ u 1 = 0

w ⋅ k 2 u 2 = k 2 w ⋅ u 2 = 0

w ⋅ k f u f = k f w ⋅ u f = 0

Então está demonstrado

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v → 1 ,v → 2 , … ,v → r forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V , então v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v
28. Os vetores u = 1 , 3 e v = - 1 , 3 indicados na figura dada têm norma 2 e o ângulo de 60° entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em r
20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.
29. (Requer Cálculo) Sejam f ( x ) e g ( x ) funções contínuas em [ 0,1 ] . Prove:(a) ∫ 0 1 f x g xd x 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 xd x ∫ 0 1 g 2 xd x (b) ∫ 0 1 f x + g x 2 d x 1 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 xd x 1 2 + ∫ 0 1 g 2
27. Use métodos vetoriais para provar que sempre é retângulo qualquer triângulo inscrito num círculo de tal modo que um de seus lados seja um diâmetro. [Sugestão: expresse os vetores A B → e B C → da