Enunciado

11. (a) Mostre que os vetores

v → 1 = 1 , - 2,3 , - 4 ,   v → 2 = 2,1 , - 4 , - 3 ,   v → 3 = - 3,4 , 1 , - 2 ,   v → 4 = 4,3 , 2,1  

Formam uma base ortogonal de R 4 com produto interno euclidiano.

(b) Use o Teorema 6.3.2b para expressar u → = - 1,2 , 3,7 como uma combinação linear dos vetores da parte (a).

Passo 1

(a) Primeiro para ser ortogonal o produto interno dos vetores deve ser igual a zero:

v → 1 ⋅ v → 2 = 1 2 + - 2 1 + 3 - 4 + - 4 - 3

v → 1 ⋅ v → 2 = 0

v → 1 ⋅ v → 3 = 1 - 3 + - 2 4 + 3 1 + - 4 - 2

v → 1 ⋅ v → 3 = 0

v → 1 ⋅ v → 4 = 1 4 + - 2 3 + 3 2 + - 4 1

v → 1 ⋅ v → 4 = 0

v → 2 ⋅ v → 3 = 2 - 3 + 1 4 + - 4 1 + - 3 - 2

v → 2 ⋅ v → 3 = 0

v → 2 ⋅ v → 4 = 2 4 + 1 3 + - 4 2 + - 3 1

v → 2 ⋅ v → 4 = 0

v → 3 ⋅ v → 4 = - 3 4 + 4 3 + 1 1 + - 2 1

v → 3 ⋅ v → 4 = 0

Então é ortogonal.

Passo 2

(b) Pra aplicar o Teorema 6.3.2b, os vetores deveriam ser ortonormal, maaaas dando uma olhada por aldo, a norma dos vetores é diferente de um, então não são ortonormal. Temos que usar a parte a do teorema.

Calculando a norma de cada vetor:

v → 1 = 1 2 + - 2 2 + 3 2 + - 4 2

v → 1 = 30

v → 2 = 2 2 + 1 2 + ( - 4 ) 2 + - 3 2

v → 2 = 30

v → 3 = - 3 2 + 4 2 + 1 2 + - 2 2

v → 3 = 30

v → 4 = 4 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2

v → 4 = 30

Passo 3

Usando o teorema, então:

u → = u → ⋅ v → 1 v → 1 v → 1 + u → ⋅ v → 2 v → 2 v → 2 + u → ⋅ v → 3 v → 3 v → 3 + u → ⋅ v → 4 v → 4 v → 4

(a) Vamos começar calculando os produtos internos:

u → ⋅ v → 1 = - 1 1 + 2 - 2 + 3 3 + 7 - 4

u → ⋅ v → 1 = - 24

u → ⋅ v → 2 = - 1 2 + 2 1 + 3 - 4 + 7 - 3

u → ⋅ v → 2 = - 33

u → ⋅ v → 3 = - 1 - 3 + 2 4 + 3 1 + 7 - 2

u → ⋅ v → 3 = 0

u → ⋅ v → 4 = - 1 4 + 2 3 + 3 2 + 7 1

u → ⋅ v → 4 = 15

Então:

u → = ( - 24 ) 30 2 v → 1 + ( - 33 ) 30 2 v → 2 + 0 30 2 v → 3 + 15 30 2 v → 4

u → = - 4 5 v → 1 - 11 10 v → 2 + 1 2 v → 4

Resposta

(b) u → = - 4 5 v → 1 - 11 10 v → 2 + 1 2 v → 4

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13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u
8. Verifique que o conjunto de vetores 1,0 , 0,1 é ortogonal com o produto interno u → , v → = 4 u 1 v 1 + u 2 v 2 de R 2 e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores.
12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 3,7 ,u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1
9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema
10. Verifique que os vetores: v → 1 = 1 , - 1,2 , - 1 , v → 2 = - 2,2 , 3,2 , v → 3 = 1,2 , 0 . - 1 , v → 4 = 1,0 , 0,1 Formam uma base ortonormal de R 4 com o produto interno euclidiano. Depois, em c