Enunciado

22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v → 1 ,   v → 2 , … ,   v → r forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V , então

v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v → 2 2 + … + v → r 2

Passo 1

Vamos fazer o produto interno:

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r + v → 2 ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r

+ … + v → r ⋅ ( v → 1 + v → 2 + … + v → r )

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + v → 1 ⋅ v → 2 + … + v → 1 ⋅ v → r + v → 2 ⋅ v → 1 + v → 2 ⋅ v → 2 + … + v → 2 ⋅ v → r

+ … + v → r ⋅ v → 1 + v → r ⋅ v → 2 + … + v → r ⋅ v → r

Como os vetores são ortogonais dois a dois, então todos os produtos internos que forem entre vetores com o númerozinho diferente vai dar zero...

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + 0 + … + 0 + 0 + v → 2 ⋅ v → 2 + … + 0

+ … + 0 + 0 + … + v → r ⋅ v → r

Sobrando só:

v → 1 + v → 2 + … + v → r ⋅ v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 ⋅ v → 1 + v → 2 ⋅ v → 2 + … + v → r ⋅ v → r

E isso é só a norma de cada vetor ao quadrado, ne:

v → 1 + v → 2 + … + v → r 2 = v → 1 2 + v → 2 2 + … + v → r 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v → 2 2 + … + v → r 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V , então u - v = 2 .
16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de R n gerado pelos vetores dados.(a) v 1 = ( 1 , - 1,3 ) , v 2 = ( 5 , - 4 , - 4 ) , v 3 = 7 , - 6,2 (b) v 1 = ( 2,0 , - 1 )
21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.
25. Prove: se w 1 , w 2 , … ,w n forem números reais positivos e se u = ( u 1 , u 2 , … , u n ) e v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) forem dois vetores quaisquer em R n , então w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + …