Enunciado

Se

u =   a 1 b 1 c 1 d 1   e   v =   a 2 b 2 c 2 d 2

São matrizes quaisquer de M(2,2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço:

u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2

Dados os vetores:

u =   1 2 - 1 1   e   v =   0 2 1 1

Determinar:

  1. u + v
  2. O ângulo entre u e v.

Passo 1

  1. Vamos somar as matrizes...
  2. u + v = 1 4 0 2  

    Agora vamos calcular a norma normalmente...

    u + v = 1 2 + 0 2 + 4 2 + 2 2 = 21

    Passo 2

  3. O cosseno do ângulo é dado por:

cos ⁡ θ =   u ∙ v u | v |

O produto u ∙ v resulta em...

1 0 + 2 2 + - 1 1 + 1 1 = 0 + 4 - 1 + 1 = 4

As normas agora...

u = 1 2 + 2 2 + - 1 2 + 1 2 = 7

v = 0 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

Então:

cos ⁡ θ =   4 6 7 = 4 42

E daí o ângulo é:

θ = a r c cos ⁡ 4 42

Resposta

  1. 21
  2. θ = a r c cos ⁡ 4 42
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