Enunciado

Determinar os vetores ( a , b , c ) para que o conjunto B = { 1 , - 3,2 ,   2,2 , 2 , a , b , c } seja uma base ortogonal em R 3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal.

Passo 1

Bom, pra ser ortogonal, o produto interno tem que ser igual a zero.

Nesse caso, os produtos internos entre os vetores da base têm que ser zero.

Ou seja...

1 , - 3,2 ∙ 2,2 , 2 = 0

1 , - 3,2 ∙ a , b , c = 0

2,2 , 2 ∙ a , b , c = 0

E o produto interno é usual...

Passo 2

1 2 + - 3 2 + 2 2 = 0     ( o k )

1 , - 3,2 ∙ a , b , c = 0

a - 3 b + 2 c = 0

2,2 , 2 ∙ a , b , c = 0

2 a + 2 b + 2 c = 0

Temos que resolver então:

a - 3 b + 2 c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0

Isolando o a na primeira...

a = 3 b - 2 c

Jogamos na segunda e...

6 b - 4 c + 2 b + 2 c = 0

8 b = 2 c

c = 4 b

Substituindo na primeira...

a = 3 b - 8 b

a = - 5 b

Passo 3

Vamos fazer b = 1 . Ficamos com a = - 5 e c = 4 .

O vetor ( - 5,1 , 4 ) então faz com a base B seja ortogonal.

Na verdade, qualquer vetor k ( - 5,1 , 4 ) com k ≠ 0 faz.

Passo 4

Falta a base ortonormal então...

Vamos considerar B = { 1 , - 3,2 ,   2,2 , 2 , - 5,1 , 4 } . A gente tem que normalizar esses vetores.

( 1 , - 3,2 ) = 1 2 + - 3 2 + 2 2 = 14

2,2 , 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 = 12 = 2 3

( - 5,1 , 4 ) = - 5 2 + 1 2 + 4 2 = 42  

Normalizamos agora (é só dividir os valores do vetor pela norma) e obtemos a base ortonormal...

B o r t g = 1 14 ,   - 3 14 , 2 14 , 1 3 ,   1 3 , 1 3 ,   - 5 42 , 1 42 , 4 42

Prontinho😉

Resposta

k - 5,1 , 4 com k ≠ 0

B o r t g = 1 14 ,   - 3 14 , 2 14 , 1 3 ,   1 3 , 1 3 ,   - 5 42 , 1 42 , 4 42

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