Enunciado

2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:

(b) 1 2 2 1 3 1 1 3 2

Passo 1

Para iniciar a resolução, cabe relembrar que o produto entre a matriz e a sua inversa é igual a matriz identidade. Ou seja, B ⋅ B - 1 = I n . Aplicando a esse exercício, tem-se:

1 2 2 1 3 1 1 3 2 ⋅ a b c d e f g h ⅈ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 2

Aplicando o passo 1 na matriz acima, temos que a matriz fica:

  a + 2 d + 2 g b + 2 ⅇ + 2 h c + 2 f + 2 i a + 3 d + g b + 3 ⅇ + h c + 3 f + i a + 3 d + 2 g b + 3 e + 2 h c + 3 f + 2 ⅈ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1  

Então, as equações são:

a + 2 d + 2 g = 1   b + 2 e + 2 h = 0   c + 2 f + 2 ⅈ = 0

a + 3 d + 1 g = 0 b + 3 e + h = 1 c + 3 f + i = 0

a + 3 d + 2 g = 0 b + 3 e + 2 h = 0 c + 3 f + 2 i =   1

Passo 3

Resolvendo os sistemas, temos que:

a = 3 b = - 2 c = - 4 d = - 1 e = 0 f = 1 g = 0 h = - 1 ⅈ = 1

Resposta

B - 1 = 3 - 2 - 4 - 1 0 1 0 - 1 1

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5 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 4 3 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 2 0 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 5
x 1 + 3 x 2 + x 3 = 4 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 1 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 3
x + y + z = 5 x + y - 4 z = 10 - 4 x + y + z = 0
Use a parte (c) do Exercício 22 para mostrar que d A - 1 d x = - A - 1 d A - 1 d x A - 1 Enuncie todas as hipóteses necessárias para obter essa fórmula.
Supondo que as inversas envolvidas existam, prove as igualdades a seguir. C - 1 + D - 1 - 1 = C C + D - 1 D I + C D - 1 C = C I + D C - 1 C + D D T - 1 D = C - 1 D I + D T C - 1 D - 1