Enunciado

22. Suponha que R 2 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u → 1 , u → 2 , u → 3 numa base ortonormal.

(a)   u → 1 = 1,1 , 1 , u → 2 = - 1,1 , 0 , u → 3 = 1,2 , 1

(a)   u → 1 = 1,0 , 0 , u → 2 = 3,7 , - 2 , u → 3 = 0,4 , 1

Passo 1

Usando o processo:

v 1 = u 1

v 1 = 1,1 , 1

Agora o passo com u 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = - 1 1 + 1 1 + ( 0 ) ( 1 )

u 2 ⋅ v 1 = 0

Então, pra nossa felicidade, já sabemos que:

v 2 = u 2

v 2 = - 1,1 , 0

Passo 2

Agora o passo com u 3 :

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos internos:

u 3 ⋅ v 1 = 1 1 + 2 1 + 1 1

u 3 ⋅ v 1 = 4

u 3 ⋅ v 2 = 1 - 1 + 2 2 + 1 0

u 3 ⋅ v 2 = 3

E vamos calcular a norma de cada vetor ao quadrado (pra evitar a fadiga):

v 1 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2

v 1 2 = 3

v 2 2 = - 1 2 + 1 2 + 0 2

v 2 2 = 2

Então:

v 3 = u 3 - 4 3 v 1 - 3 2 v 2

Substituindo e fazendo as continhas:

v 3 = 1,2 , 1 - 4 3 1,1 , 1 - 3 2 - 1,1 , 0

v 3 = 1,2 , 1 - 4 3 , 4 3 , 4 3 - - 3 2 , 3 2 , 0

v 3 = 7 6 , - 5 6 , - 1 3

Passo 3

Normalizando os vetores:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 1 3 , 1 3 , 1 3

q 2 = v 2 v 2

q 2 = - 1 2 , 1 2 , 0

Calculando “rapidinho” a norma de v 3 :

v 3 = 7 6 2 + - 5 6 2 + 1 3 2

v 3 = 13 6

Então:

q 3 = v 3 v 3

q 3 = 7 6 13 6 , - 5 6 13 6 , - 1 3 13 6

q 3 = 7 78 , - 5 78 , - 2 78

Passo 4

Usando o processo:

v 1 = u 1

v 1 = 1,0 , 0

Agora o passo com u 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 3 1 + 7 0 + ( - 2 ) ( 0 )

u 2 ⋅ v 1 = 3

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = 1

Então:

v 2 = u 2 - 3 v 1

Substituindo:

v 2 = 3,7 , - 2 - 3 1,0 , 0

v 2 = 3,7 , - 2 - 3 , 0,0

v 2 = 0 , - 7 , 2

Passo 5

Agora o passo com u 3 :

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos internos:

u 3 ⋅ v 1 = 0 1 + 4 1 + 1 1

u 3 ⋅ v 1 = 5

u 3 ⋅ v 2 = 0 0 + 4 - 7 + 1 2

u 3 ⋅ v 2 = - 26

Vamos calcular a norma de v 2 :

v 2 = 0 2 + - 7 2 + 2 2

v 2 2 = 53

Então:

v 3 = u 3 - 5 1 v 1 - - 26 53 v 2

Substituindo e fazendo as continhas:

v 3 = 0,4 , 1 - 5 1,0 , 0 + 26 53 0 , - 7,2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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