Enunciado

Seja

A = a b c d

Mostre que:

  1. A é diagonalizável se a - d 2 + 4 b c > 0
  2. A não é diagonalizável se a - d 2 + 4 b c < 0

Passo 1

Item A)

A questão 19 da seção 5.1 afirma que se a - d 2 + 4 b c > 0 então teremos dois autovalores distintos. E já sabemos que se os dois autovalores são diferentes, então A é diagonalizável.

Logo, podemos afirmar que A é diagonalizável se a - d 2 + 4 b c > 0

Passo 2

Item B)

Para o caso de a - d 2 + 4 b c < 0 não existe nenhum autovalor no conjunto dos reais, então a matriz não pode ser diagonalizada dentro do conjunto dos reais.

Se D   é a matriz diagonalizada de uma matriz A 2 × 2 e λ os autovalores, então:

a - d 2 + 4 b c < 0 ⇒ ∄   λ ∈ R

∄   λ ∈ R ⇒ ∄   D ∈ R n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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