Enunciado

24. Calcular a área do triângulo A B C e a altura relativa do lado B C , dado que:

a) A - 4,1 , 1 ,   B 1,0 , 1 e C 0 , - 1,3 ;

b) A 4,2 , 1 ,   B 1,0 , 1 e C 1,2 , 0

Passo 1

(b) Bem... Como nós temos três pontos... Veja na figurinha que é meramente ilustrativa.

Desenhamos um paralelogramo, pois “a área do paralelogramo formado determinado pelos vetores B A → e B C → é NUMERICAMENTE igual ao comprimento do vetor B A → × B C → ”.

Então, fazendo o módulo de B A → × B C → , encontramos a área do paralelogramo.

Repare, também, na linha vermelha que eu fiz... Então a área do triângulo vai ser:

A Δ = 1 2 B A → × B C →

E lembrando aqui rapidinho que o produto vetorial de dois vetores u = x 1 , y 1 , z 1 e v = x 2 , y 2 , z 2 .

u × v = i ^ j ^ k ^ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

Passo 2

Vamos começar, então, calculando cada vetor:

B A → = A - B

B A → = 4,2 , 1 - 1,0 , 1

B A → = 3,2 , 0

B C → = C - B

B C → = 1,2 , 0 - 1,0 , 1

B C → = ( 0,2 , - 1 )

Passo 3

Agora vamos fazer o produto vetorial:

B A → × B C → = i ^ j ^ k ^ 3 2 0 0 2 - 1

Resolvendo o determinante:

B A → × B C → = 2 - 1 i ^ + 0 0 j ^ + 3 2 k ^ - 0 2 k ^ - 2 0 i ^ - - 1 3 j ^

B A → × B C → = - 2 i ^ + 3 j ^ + 6 k ^

Calculando o módulo:

B A → × B C → = - 2 2 + 3 2 + 6 2

B A → × B C → = 7

Então a área do triângulo:

A Δ = 1 2 7

A Δ = 7 2

Passo 4

Agora vamos calcular a altura relativa ao lado B C .. Lembra que a área de um triângulo é:

A Δ = b a s e × a l t u r a 2

A área a gente já calculou no passo anterior, a altura é o que a gente quer achar e a base é o lado B C , né...

Então podemos calcular o módulo de B C → ...

  B C → = 0 2 + 2 2 + - 1 2

  B C → = 5  

Então podemos achar a altura:

A Δ =   B C → × h 2

h = 7 5

Resposta

A Δ = 7 2

h = 7 5

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Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a j - k e i + j .
Se a = 2 , - 1,3 e b =4,2 , 1 , encontre a × beb × a
Calcule | u × v | determine se u × v o sentido de entrar ou sair da página.
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b . a = t , 1 ,1 / tb = t 2 , t 2 1
Mostre que a × b 2 = a 2 b 2 - a ∙ b 2 .