Enunciado

28. Sabendo que os pontos A 4,0 , 0 ,   B 0,0 , 2 ,   C 0,3 , 0 e D 4,3 , - 2 são coplanares, calcular a área do quadrilátero A B C D .

Passo 1

Bem... ele não fala que não é paralelogramo, então vamos desenhar um quadrilátero qualquer...

Repare que, qualquer que seja o quadrilátero, sempre podemos dividi-lo em dois triângulos. E nós sabemos calcular a área de triângulos... YEAHHH

Vamos separar nos triângulos A B C e A D C .

Passo 2

Para calcular a área do triângulo A B C :

A A B C = 1 2 A B → × A C →

Vamos achar esses vetores:

A B → = B - A

A B → = 0,0 , 2 - 4,0 , 0

A B → = - 4,0 , 2

A C → = C - A

A C → = 0,3 , 0 - 4,0 , 0

A C → = - 4,3 , 0

Passo 3

Fazendo o produto vetorial:

A B → × A C → = i ^ j ^ k ^ - 4 0 2 - 4 3 0

A B → × A C → = 0 0 i ^ + 2 - 4 j ^ + - 4 3 k ^ - - 4 0 k ^ - 3 2 i ^ - 0 - 4 j ^

A B → × A C → = - 6 i ^ - 8 j ^ - 12 k ^

Calculando o módulo:

A B → × A C → = - 6 2 + - 8 2 + - 12 2

A B → × A C → = 2 61

Então:

A A B C = 1 2 2 61

A A B C = 61

Passo 4

Agora vamos calcular a área do triângulo A D C :

A A D C = 1 2 A D → × A C →

Vamos achar esses vetores:

A D → = D - A

A D → = 4,3 , - 2 - 4,0 , 0

A D → = 0,3 , - 2

A C → = - 4,3 , 0

Passo 5

Fazendo o produto vetorial:

A D → × A C → = i ^ j ^ k ^ 0 3 - 2 - 4 3 0

A D → × A C → = 3 0 i ^ + - 2 - 4 j ^ + 0 3 k ^ - - 4 3 k ^ - 3 - 2 i ^ - 0 0 j ^

A D → × A C → = 6 i ^ + 8 j ^ + 12 k ^

Calculando o módulo:

A D → × A C → = 6 2 + 8 2 + 12 2

A D → × A C → = 2 61

Então:

A A D C = 1 2 2 61

A A D C = 61

Passo 6

Finalmente podemos achar a área do quadrilátero. É só somar a área dos dois triângulos:

A A B C D = A A B C + A A D C

A A B C D = 2 61

Resposta

A A B C D = 2 61

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Se a + b + c = 0 , mostre que a × b = b × c = c × a
Diga se cada expressão a seguir tem sentido. Se não, explique por quê. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar. a ∙ b × c a × b ∙ c a × b × c a ∙ b ∙ c a ∙ b × c ∙ d a × b ∙ ( c × d )
Se a ∙ b = 3ea × b =1,2 , 2 ,defina o ângulo entre aeb .
(a) Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e (b) calcule a área do triângulo PQR. P = 0,0 , - 3 ,Q = 4,2 , 0eR = ( 3,3 , 1 )
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b . a = 1,1 , - 1 , b = 2,4 , 6