Enunciado

27. Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π 1 e π 2 .

(b) r : x - 1 = 2 y = z ; π 1 = 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0 ; π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0

Passo 1

Opaaa... belezinha??

Nessa questão vamos precisar lembrar da distância entre um ponto e um plano:

Sendo o ponto B = e , f , g e um plano π : a x + b y + c z + d = 0 , então a fórmula é:

d B , π = a ⋅ e + b ⋅ f + c ⋅ g + d a 2 + b 2 + c 2

E, nessa questão, queremos os pontos que têm a mesma distância dos planos.

Ahhh... e vamos já colocar a equação da reta na forma paramétrica?

x - 1 = 2 y = z = λ

Daí temos:

x - 1 = λ 2 y = λ z = λ ⇒ x = λ + 1 y = λ 2 z = λ

Passo 2

Vamos primeiro definir um ponto genérico:

P = λ + 1 , λ 2 , λ

E jogando na fórmula pra achar a distância entre esse ponto P = λ + 1 , λ 2 , λ e o plano π 1 = 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0 :

d P , π 1 = 2 ⋅ λ + 1 + - 3 ⋅ λ 2 + - 4 ⋅ λ + - 3 2 2 + - 3 2 + - 4 2

d P , π 1 = 2 λ + 2 - 3 λ 2 - 4 λ - 3 4 + 9 + 1 6

d P , π 1 = - 7 λ 2 - 1 29

Agora pra achar a distância entre o ponto P = λ + 1 , λ 2 , λ e o plano π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0

d P , π 2 = 4 ⋅ λ + 1 + - 3 ⋅ λ 2 + - 2 ⋅ λ + 3 4 2 + - 3 2 + - 2 2

d P , π 2 = 4 λ + 4 - 3 λ 2 - 2 λ + 3 16 + 9 + 4

d P , π 2 = λ 2 + 7 29

Passo 3

Show de bola, né? Mas o enunciado pede o ponto que seja equidistante aos planos, então:

d P , π 1 = d P , π 2

Vamos igualar, então:

- 7 λ 2 - 1 29 = λ 2 + 7 29

- 7 λ 2 - 1 = λ 2 + 7

Hmmm... repara que temos módulo dos dois lados e isso pode ficar um pouco complicado, maaaaasss se a gente elevar ao quadrado dos lados a gente resolve isso, concorda?? (um número elevado ao quadrado vai dar sempre positivo.

Elevando ao quadrado dos dois lados:

- 7 λ 2 - 1 2 = λ 2 + 7 2

49 λ 2 4 + 7 λ + 1 = λ 2 4 + 7 λ + 49

48 λ 2 4 - 48 = 0

12 λ 2 - 48 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

λ ' = - 2

OU

λ ' ' = 2

Passo 4

Ta acabandoooo..

Agora vamos substituir os valores que achamos pra λ e, finalmente, achamos os pontos.

Pra λ ' = - 2 :

P ' = - 2 + 1 , - 2 2 , - 2

P ' = - 1 , - 1 , - 2

Pra λ ' ' = 2 :

P ' ' = 2 + 1 , 2 2 , 2

P ' ' = 3,1 , 2

Ufaa... acabamos essa. Bora pra próxima??

Resposta

P ' = - 1 , - 1 , - 2

P ' ' = 3,1 , 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano π .
São dados ⎧x= 1 + t⎧ r⎢y= 2- t ⎢ ⎩z= 1 + t⎩ e P=( 2,1 , 0 ) .Dê uma equação do plano π que passa por P e é perpendicular a r .Calcule a interseção do plano π com a reta r .Ache o simétrico de P em rel
Dê equações da reta r que passa pelo ponto P= ( 2 , - 2,3 ) e é perpendicular ao plano π:x- y+ 3 z- 2= 0 .Calcule a interseção de r como plano π .Calcule a distância de P a π .
b) Encontre a distância da origem ao plano π .
Ache os pontos do plano π : y = x que equidistam dos pontos A = ( 1,1 , 0 ) e B = ( 0,1 , 1 ) .