Enunciado

27. Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π 1 e π 2 .

(a) r : X = 0,1 , 1 + λ 1,1 , 2 ; π 1 = x + 2 y - z - 3 = 0 ; π 2 : x - y + 2 z = 1

Passo 1

Opaaa... belezinha??

Nessa questão vamos precisar lembrar da distância entre um ponto e um plano:

Sendo o ponto B = e , f , g e um plano π : a x + b y + c z + d = 0 , então a fórmula é:

d B , π = a ⋅ e + b ⋅ f + c ⋅ g + d a 2 + b 2 + c 2

E, nessa questão, queremos os pontos que têm a mesma distância dos planos.

Passo 2

Vamos primeiro definir um ponto genérico (e aproveitar que a reta ta na forma paramétrica):

P = 0 + 1 ⋅ λ , 1 + 1 ⋅ λ , 1 + 2 ⋅ λ

P = λ , 1 + λ , 1 + 2 λ

E jogando na fórmula pra achar a distância entre esse ponto P = λ , 1 + λ , 1 + 2 λ e o plano π 1 = x + 2 y - z - 3 = 0 :

d P , π 1 = 1 ⋅ λ + 2 ⋅ 1 + λ + - 1 ⋅ 1 + 2 λ + - 3 1 2 + 2 2 + - 1 2

d P , π 1 = λ + 2 + 2 λ - 1 - 2 λ - 3 1 + 4 + 1

d P , π 1 = λ - 2 6

Agora pra achar a distância entre o ponto P = λ , 1 + λ , 1 + 2 λ e o plano π 2 : x - y + 2 z - 1 = 0 (reparaa que no planto tinha o 1 depois do igual e a gente passou pro outro lado, heim):

d P , π 2 = 1 ⋅ λ + - 1 ⋅ 1 + λ + 2 ⋅ 1 + 2 λ + - 1 1 2 + - 1 2 + 2 2

d P , π 2 = λ - 1 - λ + 2 + 4 λ - 1 1 + 1 + 4

d P , π 2 = 4 λ 6

Passo 3

Show de bola, né? Mas o enunciado pede o ponto que seja equidistante aos planos, então:

d P , π 1 = d P , π 2

Vamos igualar, então:

λ - 2 6 = 4 λ 6

λ - 2 = 4 λ

Hmmm... repara que temos módulo dos dois lados e isso pode ficar um pouco complicado, maaaaasss se a gente elevar ao quadrado dos lados a gente resolve isso, concorda?? (um número elevado ao quadrado vai dar sempre positivo.

Elevando ao quadrado dos dois lados:

λ - 2 2 = 4 λ 2

λ 2 - 4 λ + 4 = 16 λ 2

15 λ 2 + 4 λ - 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

λ ' = - 2 3

OU

λ ' ' = 2 5

Passo 4

Ta acabandoooo..

Agora vamos substituir os valores que achamos pra λ e, finalmente, achamos os pontos.

Pra λ ' = - 2 3 :

P ' = - 2 3 , 1 + - 2 3 , 1 + 2 - 2 3

P ' = - 2 3 , 1 3 , - 1 3

Pra λ ' ' = 2 5 :

P ' ' = 2 5 , 1 + 2 5 , 1 + 2 2 5

P ' ' = 2 5 , 7 5 , 9 5

Ufaa... acabamos essa. Bora pra próxima??

Resposta

P ' = - 2 3 , 1 3 , - 1 3

P ' ' = 2 5 , 7 5 , 9 5

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Ache as coordenadas do ponto do plano 2 x + y - 2 z=12 que está mais próximo da origem.
Qual é o ponto do plano 2 x-3 y+z=5 mais próximo do ponto P=( 1 ,3 ,1 ) ?
Escolhendo o sistema de eixos adequado, mostre que, dados dois pontos AeB , o conjunto dos pontos P do espaço tais que d ( P ,A ) ²-d ( P ,B ) ²=c ² ² (uma constante) é um plano perpendicular `a reta
Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x − y + 5z − 3 = 0 e que passa por P = (1, −2, 1).