Enunciado

52. Calcule a distância entre a reta r e o plano π .

(c) r : x = y - 1 = z + 3 ; π : 2 x + y - 3 z - 10 = 0

Passo 1

Fala aii... belezinha??

Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo r um vetor diretor da reta e n um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:

- r ⋅ n ≠ 0 , então r é transversal a π . Daí temos: d r , π = 0

- r ⋅ n = 0 , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:

- r pertence a π , então d r , π = 0 . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.

- r é paralela a π , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto P x 0 , y 0 , z 0   qualquer da reta r e calcular a distância desse ponto até o plano π : a x + b y + c z + d = 0   com a fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Então bora lá fazer essa marmota...

Passo 2

Colocando a equação da reta na forma paramétrica:

x = y - 1 = z + 3 = λ

Ficamos com:

x = λ y - 1 = λ z + 3 = λ ⇒ x = λ y = λ + 1 z = λ - 3

Então é só a gente pegar o que está na frente do parâmetro que a gente tem um vetor diretor da reta:

r = 1,1 , 1

E para o vetor normal ao plano é só pegar o que está na frente de cada variável:

n = 2,1 , - 3

Passo 3

Fazendo o produto interno:

r ⋅ n = 1,1 , 1 ⋅ 2,1 , - 3

r ⋅ n = 1 2 + 1 1 + 1 - 3

r ⋅ n = 0

Bom... já descartamos a possibilidade da reta ser transversal ao plano, né?

Vamos verificar se ela pertence ao planto.

Escolhendo um ponto P   quando quer da reta. (vamos escolher quando λ = 0 )

x = λ y = λ + 1 z = λ - 3 ⇒ x = 0 y = 1 y = - 3

E vamos substituir na equação do plano:

2 x + y - 3 z - 10 = 0

2 0 + 1 - 3 - 3 - 10 = 0

0 + 1 + 9 - 10 = 0

0 = 0

Opaaa... Como um ponto da reta pertence ao plano e achamos o produto interno igual a zero, então a reta pertence ao plano. Sendo assim, a distância:

d P , π = 0

Acabamos essa... Bora mais uma?

Resposta

d P , π = 0

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