Lista de Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

Ver Teoria

Calcule a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) ao plano π : 3 x - 4 y - 5 z + 1 = 0 .

Ver solução completa

Calcular a distância do ponto P 0 = ( - 4 ,   2 ,   5 ) ao plano π : 2 x + y + 2 z + 8 = 0 .

Ver solução completa

Achar a distância do ponto P = ( 2 ,   - 3 ,   5 ) ao plano π : 3 x + 2 y + 6 z - 2 = 0

Ver solução completa

Dê uma equação geral do plano π que contém a reta r : X = 1 ,   0 ,   1 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 ) e dista 2 do ponto P = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Ver solução completa

Achar a distância da origem a cada um dos planos

  1. π : 3 x - 4 y + 20 = 0
  2. π : x = 2 - h + 2 t y = 1 + 3 h - t z = - t

Ver solução completa

Determinar a distância do ponto P = ( 2 ,   - 1 ,   2 ) a cada um dos planos:

  1. π : 2 x - 2 y - z + 3 = 0
  2. π : x + y + z = 0
  3. π : 2 x + y = 3

Ver solução completa

Considere o ponto P = 1 ,   0 ,   1 de R 3 , a reta r de equações paramétricas

r : x = 2 + t ,     y = 1 - t ,     z = 2 + 2 t ,     t ∈ R

E o plano π de equação cartesiana

π : x + 2 y - z = 1

  1. Calcule a distância do ponto P ao plano π e as coordenadas do ponto M do plano π mais próximo de P .
  2. Determine a equação cartesiana do plano ρ que contém o ponto P e a reta r .
  3. Considere o ponto Q = 2,1 , 2 ∈ r e o plano τ de R 3 de equação cartesiana
  4. τ : x - y = 1

    Observe que Q ∈ τ . Determine uma equação paramétrica da reta s contida no plano τ que contém Q e é perpendicular a r .

  5. Considere a reta r ' de equações paramétricas

r ' : x = 1 + t ,     y = a + t ,     z = t ,     t ∈ R

Determine a para que as retas r e r ' se interceptem em um ponto.

Ver solução completa

Considere o plano Π 1 de equação 2 x - y - z = 15 e os pontos P 1 = ( 3 ,   1 ,   2 ) e P 2 = ( 2 ,   0 ,   1 ) .

(a) Encontre uma equação paramétrica para a reta r que passa pelos pontos P 1 e P 2 .

(b) Calcule a distância entre o plano Π 1 e o ponto P 1 .

(c) Encontre a equação cartesiana do plano Π 2 que contém os pontos P 1 e P 2 e é ortogonal ao plano Π 1 .

Ver solução completa

Considere a reta s : X = - 1 ,   2 ,   2 + t ( - 1 ,   1 ,   1 ) e o plano π : X = 1 ,   0 ,   0 + λ - 1 ,   0 ,   1 + μ ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ) .

a) Determine a equação geral do plano π .

b) Determine o ponto Q , intersecção do plano π com a reta s .

c) Determine o ponto P ∈ s correspondente a t = 2 e calcule a distância de P ao plano π .

Ver solução completa

São dados as retas r : x = 1 + λ y = 1 z = λ e o plano π : 3 x + 2 y - 3 z = 5 e o ponto P = ( - 8 ,   - 6 ,   1 )

a) Determine a posição relativa entre r e π .

b) Determine a projeção P ' do ponto P sobre a reta r .

c) Determine a projeção P ' ' do ponto P sobre o plano π .

d) Determine o ângulo entre a reta r e a reta P ' P ' ' .

Ver solução completa

Considere os pontos

P = ( 1 ,   2 ,   0 ) e Q = ( 2 ,   1 ,   1 ) ,

a reta r de equações paramétricas

r : 1 + t ,   2 + t ,   2 t ,   t ∈ R

e o plano p suja equação cartesiana é

p : x + 2 y + 3 z = 6

Considere o ponto A = ( 1 ,   0 ,   1 )

d) Determine a distância δ do ponto A ao plano p e um ponto L de p tal que a distância entre A e L seja δ .

Ver solução completa