Enunciado

28. Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Expresse o vetor w = - 1,2 , 6,0 na forma w = w 1 + w 2 , sendo w 1 um vetor no espaço gerado por u 1 = ( - 1,0 , 1,2 ) e u 2 0,1 , 0,1 , e w 2 ortogonal a W.

Passo 1

Vamos usar o processo de Gram-Schmidt para achar dois vetores ortogonais, um em W e outro em W ⊥ .

Primeiro para v 1 :

v 1 = u 1

v 1 = ( - 1,0 , 1,2 )

Passo 2

Agora para v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 0 - 1 + 1 0 + 0 1 + 1 2

u 2 ⋅ v 1 = 2

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = - 1 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2

v 1 = 6

Então:

v 2 = u 2 - 2 6 2 v 1

v 2 = u 2 - 1 3 v 1

Substituindo os vetores:

v 2 = 0,1 , 0,1 - 1 3 ( - 1,0 , 1,2 )

v 2 = 1 3 , 1 , - 1 3 , 1 3

Passo 3

Agora fazemos as projeções:

w 1 = p r o j W w

w 1 = w ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + w ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos internos:

w ⋅ v 1 = - 1 - 1 + 2 0 + 6 1 + 0 2

w ⋅ v 1 = 7

w ⋅ v 2 = - 1 1 3 + 2 1 + 6 - 1 3 + 0 1 3

w ⋅ v 2 = - 1 3

Calculando a norma de v 2 :

v 2 = 1 3 2 + 1 2 + - 1 3 2 + 1 3 2

v 2 = 2 3

Então:

w 1 = 7 6 2 v 1 + - 1 3 2 3 2 v 2

w 1 = 7 6 v 1 - 1 4 v 2

Substituindo os vetores:

w 1 = 7 6 ( - 1,0 , 1,2 ) - 1 4 1 3 , 1 , - 1 3 , 1 3

w 1 = - 5 4 , - 1 4 , 5 4 , 9 4

Passo 4

E para w 2 :

w 2 = p r o j W ⊥ w

w 2 = w - p r o j W w

w 2 = w - w 1

w 2 = - 1,2 , 6,0 - - 5 4 , - 1 4 , 5 4 , 9 4

w 2 = 1 4 , 9 4 , 19 4 , - 9 4

Resposta

w 1 = - 5 4 , - 1 4 , 5 4 , 9 4

w 2 = 1 4 , 9 4 , 19 4 , - 9 4

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