Enunciado

Suponha A ≠ 0 e A B = A C onde A , B , C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.

  1. B = C ?
  2. Se existir uma matriz Y , tal que Y A = I , onde I é a matriz identidade, então B = C ?

Passo 1

Opaaa... belezinha??

Algumas coisas que vamos precisar lembrar pra essa questão é:

- A multiplicação de matrizes:

Sendo A = a 11 a 12 a 21 a 22 e B = b 11 b 12 b 21 b 22 , então temos:

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22

A B = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

- Para existir a inversa de uma matriz qualquer A , então o seu determinante deve ser diferente de zero.

det ⁡ A ≠ 0

- A multiplicação de uma matriz por sua inversa é igual à matriz identidade:

A A - 1 = A - 1 A = I

- E uma matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:

A I = I A = A

Passo 2

  1. Ahhh... você pode estar suuuuper tentando a multiplicar cada lado por A - 1 e achar:
  2. A B = A C

    A - 1 A B = A - 1 A C

    ( A - 1 A ) B = A - 1 A C

    I B = I C

    B = C

    Mas NÃÃÃÃOOOOOO PODEEEE.

    Repara só que pra existir a inversa de A o determinante de A deve ser diferente de zero.

    Hmmmm... mas A ≠ 0 não garante que o determinante é igual a zero, sabia???

    Vamos pegar a matriz A = 2 1 0 0 . (a dica pra chutar essa matriz é pegar uma matriz que tenha uma linha toda igual a zero, que aí vamos ter o determinante igual a zero)

    A matriz A é diferente de zero, maaas o determinante é igual a zero.

    det ⁡ A = 2 1 0 0

    det ⁡ A = 2 0 - 0 1 = 0

    Ou sejaaa, a matriz A não é invertível porque o determinante é igual a zero.

    Daí não podemos só multiplicar por A - 1 na frente.

    Passo 3

    Pois muito que bem. Agora a gente precisa achar um contraexemplo pra mostrar que não é válida.

    Vamos pegar ainda a matriz A = 2 1 0 0 e uma matriz qualquer (ainda com uma linha ou coluna toda igual a zero) B = 1 0 - 1 0 .

    E fazendo a multiplicação das duas:

    A B = 2 1 0 0 1 0 - 1 0

    A B = 2 1 + 1 - 1 2 0 + 1 0 0 1 + ( 0 ) ( - 1 ) 0 0 + 0 0

    A B = 1 0 0 0

    Agora vamos pegar uma matriz C = c 11 c 12 c 21 c 22 qualquer:

    E fazendo a multiplicação:

    A C = 2 1 0 0 c 11 c 12 c 21 c 22

    A C = 2 c 11 + 1 c 21 2 c 12 + 1 c 22 0 c 11 + ( 0 ) ( c 21 ) 0 c 12 + 0 c 22

    A C = 2 c 11 + c 21 2 c 12 + c 22 0 0

    E a questão nos dá que A B = A C , então:

    1 0 0 0 = 2 c 11 + c 21 2 c 12 + c 22 0 0

    - Repara que:

    2 c 11 + c 21 = 1

    Se a gente chutar valores que façam isso ser verdade (com valores diferentes dos de B ), tipo... Vamos tentar com c 11 = 2 , então:

    2 2 + c 21 = 1

    c 21 = - 3

    - Repara também quer:

    2 c 12 + c 22 = 0

    Então:

    c 12 = c 22 = 0

    Daí ficamos com a matriz C :

    C = 2 0 - 3 0

    Passo 3

    Repara só... Vamos fazer de novo   A C , só pra tirar essa dúvida que sei que pode estar na sua cabeça:

    A C = 2 1 0 0 2 0 - 3 0

    A C = 2 2 + 1 - 3 2 0 + 1 0 0 2 + 0 - 3 0 0 + 0 0

    A C = 1 0 0 0

    Ohhhhh... Reparou?

    A B = A C

    (na verdade foi o que a gente forçou a ser)

    E repara ainda que B   é diferente de C .

    Logo, é falso dizer que B = C .

    Passo 4

  3. Agora vamos pra letra b, mas calma que essa vai dar menos trabalho.

Bom... Aqui ela já nos garante que existe uma matriz Y tal que Y A = I . E sabe que matriz Y é essa?? Isso mesmo... é a inversa de A que também representamos por A - 1 .

Então aqui nós podemos fazer o que não podia na letra a:

Multiplicando por Y dos dois lados, pela esquerda:

Y A B = Y A C

Y A B = Y A C

Como Y A = I , então:

I B = I C

B = C

Então aqui é verdadeiro dizer que B = C .

Show de boa. Vamos pra mais um exercício?

Resposta

  1. Não
  2. Sim
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