Enunciado

38. Prove que uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, A^TA é invertivel

Passo 1

Se A é invertível, então, pelo teorema 1.4.9, A T também é invertível.

Pelo teorema 2.3.8 sabemos que se uma matriz é invertível então seu determinante é diferente de zero, ou seja:

det ⁡ A ≠ 0

e

det ⁡ A T ≠ 0

O teorema 2.3.4 nos diz que

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) ⋅ det ⁡ B

Então podemos escrever com as nossas matrizes que:

det ⁡ ( A A T ) = det ⁡ ( A ) ⋅ det ⁡ A T

Como os determinantes de A e de A T são diferentes de zero, seu produto também será diferente de zero:

det ⁡ ( A A T ) ≠ 0

E, novamente usando o teorema 2.3.8, podemos afirmar que como   det ⁡ ( A A T ) ≠ 0 , A A T é invertível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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