Enunciado

3.Prove:

a) vec x + vec a = vec b harr vec x = vec b - vec a b) vec u = vec v harr vec u - vec v = vec 0

Passo 1

Utilizaremos as propriedades associativas, comutativas, elemento neutro e elemento oposto.

Associativa:

vec u + (vec v + vec w) = (vec u + vec v) + vec w

Comutativa:

(vec u + vec v) = vec v + vec u

Elemento Neutro:

vec u + vec 0 = vec 0 + vec u = vec u

Elemento Oposto:

vec u + (- vec u) = vec 0 = - vec u + vec u

Passo 2

Vamos começar então, perceba que tanto a letra a) quanto a letra b) são demonstrações de ida e volta! Teremos que demonstrar tanto a validade tanto partindo da esquerda quanto partindo da direita! No caminho, eu te explico.

Começando com a letra a) e partindo da esquerda para a direita.

Se vec x + vec a = vec b , então vec x = vec b - vec a .

vec x + vec a = vec b

Somaremos - vec a dos dois lados da equação, temos:

- vec a + (vec x + vec a) = vec b - vec a

Utilizando a propriedade associativa:

vec x + (- vec a + vec a) = vec b - vec a

E agora a propriedade do elemento neutro:

vec x + (vec 0) = vec b - vec a

Para finalizar:

vec x = vec b - vec a

Opaaa! A ida bateu, vamos tentar o inverso agora.

Se vec x = vec b - vec a , então vec x + vec a = vec b .

vec x = vec b - vec a

Somaremos vec a dos dois lados da equação, temos:

vec a + vec x = vec a + ( vec b - vec a )

Utilizando a propriedade associativa e comutativa:

vec x + vec a = vec b + ( vec a - vec a )

E agora a propriedade do elemento neutro:

vec x + vec a = vec b + (vec 0)

Para finalizar:

vec x + vec a = vec b

Provamos a ida e a volta, então provamos a letra a). Dá uma descansada e vamos para a letra b!

Passo 3

Agora letra b), indo da esquerda para a direita também

Se vec u = vec v , então vec u - vec v = vec 0

vec u = vec v

Somaremos - vec v de ambos lados!

vec u - vec v = vec v - vec v

Utilizando a propriedade do elemento neutro, temos:

vec u - vec v = vec 0

Pronto primeira parte demonstrada! Agora partimos da esquerda e chegamos na direita!

Se vec u - vec v = vec 0 , então Se vec u = vec v .

vec u - vec v = vec 0

Somando vec v de ambos os lados, temos:

vec v + (vec u - vec v) = vec v + vec 0

Utilizando a propriedade associativa e do elemento neutro, temos:

vec u + (vec v - vec v) = vec v

Utilizando novamente a propriedade do elemento neutro:

vec u = vec v

Demonstramos tanto da esquerda para direita como o inverso também! Entãoo, está demonstrada a letra b)!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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3.1.1 Determine o ponto C tal que vec A C = 2 vec A B sendo A = (0 , - 2) e B = (1,0) *
3.1.5 Determine os Vetores X e Y tais que 6 X - 2 Y = U 3 X + Y = U + V
3.1.2 Uma reta no plano tem equação y = 2 x + 1 . Determine um vetor paralelo a essa reta.
3.1.6 Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V = 3,0 , - 3 sabendo-se que sua origem está no ponto P = 2,3 , - 5 .
3.1.4 Determine o vetor X , tal que 3 X - 2 V = 15 X - U .