Enunciado

Achar a distância da origem a cada um dos planos

b) π : x = 2 - h + 2 t y = 1 + 3 h - t z = - t

Passo 1

O primeiro passo aqui é encontrarmos uma equação geral para o plano π ok? Para isso, precisamos encontrar um vetor normal dele. Vamos lembrar que o produto vetorial sempre resultará em um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, então, fazendo o produto vetorial entre vetores diretores do plano, obteremos um vetor ortogonal a ele, ou seja, ou vetor normal.

Pela equação de π dada no enunciado, vemos que seus vetores diretores são ( - 1 ,   3 ,   0 ) e ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ) , então, um vetor normal do nosso plano será dado por:

- 1 ,   3 ,   0 × 2 ,   - 1 ,   - 1 = ( - 3 ,   - 1 ,   - 5 )

Então, o plano π pode ser escrito assim:

- 3 x - y - 5 z + d = 0

Passo 2

Agora precisamos encontrar o d da equação do plano. Para isso, vamos substituir um ponto do plano na equação que encontramos. Pela equação dada no enunciado, vemos que o ponto ( 2 ,   1 ,   0 ) pertence ao plano, então podemos escrever

- 3 x - y - 5 z + d = 0

- 3.2 - 1 - 5.0 + d = 0

d = 7

Logo, a equação geral do nosso plano é

π :   - 3 x - y - 5 z + 7 = 0

Que multiplicando tudo por - 1 é a mesma coisa que

π : 3 x + y + 5 z - 7 = 0

Passo 3

A distância entre um ponto P ' = ( x ,   y ,   z ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d P ' , π ' = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

No nosso caso, P = ( 0 ,   0 ,   0 ) (pois estamos falando da origem) e π : 3 x + y + 5 z - 7 = 0 , logo:

d P ,   π = 3.0 + 1.0 + 5.0 - 7 3 2 + 1 2 + 5 2

d P ,   π = 7 9 + 1 + 25

Então, a distância entre o ponto e o plano é

d P ,   π = 7 35

Resposta

d P ,   π = 7 35

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Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x − y + 5z − 3 = 0 e que passa por P = (1, −2, 1).
d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano π .
São dados ⎧x= 1 + t⎧ r⎢y= 2- t ⎢ ⎩z= 1 + t⎩ e P=( 2,1 , 0 ) .Dê uma equação do plano π que passa por P e é perpendicular a r .Calcule a interseção do plano π com a reta r .Ache o simétrico de P em rel
Dê equações da reta r que passa pelo ponto P= ( 2 , - 2,3 ) e é perpendicular ao plano π:x- y+ 3 z- 2= 0 .Calcule a interseção de r como plano π .Calcule a distância de P a π .
b) Encontre a distância da origem ao plano π .