Enunciado

Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:

P 0 ,   0 ,   0                 r :   2 x - y + z - 3 = 0 x + y - 2 z + 1 = 0

Passo 1

Pra começar, temos equações planares de r , só que pra encontrarmos a distância de P até r , precisamos da sua equação vetorial, paramétrica ou simétrica. Então vamos começar achando sua equação vetorial. Temos

r :   2 x - y + z - 3 = 0 x + y - 2 z + 1 = 0

Somando as duas equações:

3 x - z - 2 = 0

z = 3 x - 2

Agora vamos substituir isso na primeira equação:

2 x - y + 3 x - 2 - 3 = 0

y = 5 x - 5

Logo, a equação de r tem o formato

x ,   y ,   z = ( x ,   5 x - 5 ,   3 x - 2 )

r : X = 0 ,   - 5 ,   - 2 + t . ( 1 ,   5 ,   3 )

Belezinha, encontramos a equação vetorial de r :)

Passo 2

Para encontrarmos a distância de P até r , primeiro precisamos de um ponto genérico de r , que de acordo com sua equação vetorial, pode ser dado por

Q = ( t ,   - 5 + 5 t ,   - 2 + 3 t )

O primeiro passo, é encontrarmos um valor para o parâmetro t tal que P Q → seja perpendicular ao vetor diretor de r , que é ( 1 ,   5 ,   3 ) , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0!! Sabendo que

P Q → = Q - P = ( t ,   - 5 + 5 t ,   - 2 + 3 t )

Temos:

P Q → . r → = 0

t ,   - 5 + 5 t ,   - 2 + 3 t . 1 ,   5 ,   3 = 0

t - 25 + 25 t - 6 + 9 t = 0

35 t = 31

t = 31 35

Então, se o t que satisfaz nossas condições é t = 31 35 , vamos substituir esse valor no ponto Q , e aí temos

Q = ( t ,   - 5 + 5 t ,   - 2 + 3 t )

Q = 31 35 ,   - 4 7 , 23 35

Passo 3

Agora, pra finalizar, é só encontrarmos a distância entre P = ( 0 ,   0 ,   0 ) e Q = 31 35 ,   - 4 7 , 23 35 :D Usando a fórmula de distância entre pontos:

d P ,   Q = 31 35 - 0 2 + - 4 7 - 0 2 + 23 35 - 0 2

d P ,   Q = 54 35

Resposta

54 35

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →