Enunciado

Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x - 1 = y + z = 3 , s = 3 x + y + z = x - y - z = 0 e t : x - y = x + z = 1 + z .

Passo 1

Vamos começar lembrando como se calcula a distância entre ponto e reta.

Se uma reta tem vetor diretor r → e passa por um ponto A , então a distância dessa reta até o ponto P é:

d P , r = A P → × r → r →

Ok, então vamos procurar os vetores diretores de cada uma das nossas três retas, e um ponto contido em cada uma delas.

A melhor forma de fazer isso é escrevendo as equações vetoriais. A reta r dá o seguinte sistema:

x - 1 = y + z = 3

x - 1 = 3 y + z = 3         ⇒           x = 4 y = 3 - α z = α

Ou seja:

r : R = 4,3 , 0 + α 0 , - 1,1

Falta fazer o mesmo para as retas s e t .

Passo 2

A reta s dá esse sistema aqui:

s = 3 x + y + z = x - y - z = 0

s = 3 x + y + z = 0 x - y - z = 0

Somando as duas equações:

3 x + y + z + x - y - z = 0

4 x = 0

x = 0

E as duas equações que restaram são iguais (uma é só a negativa da outra!):

y + z = 0

y = - z

E então a parametrização é:

x = 0 y = - β z = β

s : S = 0,0 , 0 + β 0 , - 1,1

E a reta t dá:

x - y = x + z = 1 + z

x - y = x + z x - y = 1 + z

Pela primeira equação:

- y = z

E substituindo isso na segunda:

x = 1 + z + y

x = 1 - y + y         ⇒           x = 1

E então a parametrização é:

x - y = x + z x - y = 1 + z         ⇒           x = 1 y = - γ z = γ

E a equação vetorial é:

t : T = 1,0 , 0 + γ 0 , - 1,1

Passo 3

Então, resumindo, as equações das nossas três retas são:

R = 4,3 , 0 + α 0 , - 1,1

S = 0,0 , 0 + β 0 , - 1,1

T = 1,0 , 0 + γ 0 , - 1,1

E agora já podemos procurar as expressões para as distâncias. Lembrando que a fórmula é essa aqui:

d P , r = A P → × r → r →

Já que as três retas tem o mesmo vetor diretor   r → = 0 , - 1,1 ,vamos encontrar uma equação que geral que sirva para as três.

A única diferença vai ser o ponto A = x 0 , y 0 . z 0 . O produto vetorial é:

A P → × r → = x ^ y ^ z ^ x - x 0 y - y 0 z - z 0 0 - 1 1

A P → × r → = y - y 0 x ^ - x - x 0 z ^ + z - z 0 x ^ - x - x 0 y ^  

A P → × r → = y - y 0 + z - z 0 2 + x 0 - x 2 + x 0 - x 2

E a norma do vetor r → é:

r → = 0 2 + - 1 2 + 1 2 = 2

Passo 4

Agora vamos substituir na fórmula. Os pontos x 0 , y 0 , z 0 são:

R 0 = 4,3 , 0

S 0 = 0,0 , 0

T 0 = 1,0 , 0

Então a fórmula para as distâncias entre um ponto qualquer e as retas r , s e t é:

d P , r = A P → × r → r → = 1 2 y - y 0 + z - z 0 2 + x 0 - x 2 + x 0 - x 2

Substituindo tudo:

d P , r = 1 2 y - 3 + z 2 + 4 - x 2 + 4 - x 2

d P , s = 1 2 y + z 2 + - x 2 + - x 2

d P , t = 1 2 y + z 2 + 1 - x 2 + 1 - x 2

Simplificando um pouco:

d P , r = 1 2 y - 3 + z 2 + 2 4 - x 2

d P , s = 1 2 y + z 2 + 2 x 2

d P , t = 1 2 y + z 2 + 2 1 - x 2

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o lugar geométrico dos pontos P que obedecem essa relação aqui:

d P , r = d P , s = d P , t

Vamos começar olhando para essa igualdade, que parece ser um pouco mais simples:

d P , s = d P , t

1 2 y + z 2 + 2 x 2 = 1 2 y + z 2 + 2 1 - x 2

Elevando os dois lados ao quadrado e multiplicando por dois:

y + z 2 + 2 x 2 = y + z 2 + 2 1 - x 2

Subtraindo os dois lados por y + z 2 :

2 x 2 = 2 - 4 x + 2 x 2

x = 1 2

E agora vamos olhara para outra igualdade:

d P , r = d P , s

1 2 y - 3 + z 2 + 2 4 - x 2 = 1 2 y + z 2 + - x 2 + - x 2

y + z - 3 2 + 2 4 - x 2 = y + z 2 + 2 x 2

y + z 2 - 6 y + z + 9 + 2 16 - 8 x + x 2 = y + z 2 + 2 x 2

Subtraindo y + z 2 nos dois lados:

- 6 y + z + 9 + 2 16 - 8 x + x 2 = 2 x 2

- 6 y + z + 9 + 32 - 16 x + 2 x 2 = 2 x 2

- 6 y + z + 41 - 16 x = 0

16 x + 6 y + 6 z = 41

Então ficamos com dois planos:

x = 1 / 2 16 x + 6 y + 6 z = 4 1

Passo 6

Agora temos que resolver esse último sistema, porque é ele que vai dizer o lugar geométrico dos pontos:

x = 1 / 2 16 x + 6 y + 6 z = 41

Substituindo a primeira na segunda:

16 1 2 + 6 y + 6 z = 41

8 + 6 y + 6 z = 41

6 y + 6 z = 33

6 z = 33 - 6 y

Ou seja:

x = 1 2 y = λ z = 1 6 33 - 6 λ

Podemos escrever isso como a equação vetorial de uma reta u :

u :           U = 1 2 , 0   , 33 6 + λ 0,1 , - 1

Simplificando um pouco:

u :           U = 1 2 1,0 , 11 + λ 0,1 , - 1

Pronto! O lugar geométrico que estávamos procurando é essa reta u .

Resposta

O lugar geométrico é a reta que tem equação vetorial U = 1 2 1,0 , 11 + λ 0,1 , - 1 .

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