Enunciado

Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas.

b) r 1 :   x = - 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t , para t pertencente aos reais.

r 2 : x =   y - 4 2 = z - 3 3

Passo 1

A partir das equações das retas, podemos inferir que um ponto qualquer da reta 1, P r 1 pode ser descrito como:

P r 1 = ( - 1 + t ,   2 + 3 t ,   4 t )

E um ponto qualquer da reta 2, P r 2 pode ser descrito como:

P r 2 = ( s ,   4 + 2 s ,   3 + 3 s )

Passo 2

P r 1 P r 2 → é o vetor que liga um ponto da reta 1 a um ponto da reta 2, ou seja, indica a interseção entre as retas.

P r 1 P r 2 →   = ( s + 1 - t ,   4 + 2 s - 2 - 3 t ,   3 + 3 s - 4 t )  

P r 1 P r 2 →   = ( 1 + s - t ,   2 + 2 s - 3 t ,   3 + 3 s - 4 t )  

Assim, temos um vetor para a reta desejada.

Passo 3

Para que a reta seja perpendicular a r1 e r2, devemos calcular os valores de s e t que fazem com que o vetor encontrado no passo anterior seja perpendicular aos vetores diretores de r1 e r2. Para isso, os produtos escalares do vetor P r 1 P r 2 → encontrado com vetores diretores de r1 e r2 devem ser iguais a 0, ou seja:

P r 1 P r 2 → ∙ V 1 = 1 + s - t 1 + 2 + 2 s - 3 t 3 + 3 + 3 s - 4 t 4 = 0

P r 1 P r 2 → ∙ V 1 =   19 - 19 s - 26 t = 0

P r 1 P r 2 → ∙ V 2 = 1 + s - t 1 + 2 + 2 s - 3 t 2 + 3 + 3 s - 4 t 3 = 0

P r 1 P r 2 → ∙ V 2 = 14 + 14 s - 19 t = 0

Montando um sistema:

19 s - 26 t = - 19   14 s - 19 t = - 14

Transformando em uma matriz e resolvendo por escalonamento:

19 - 26 14 - 19 - 19 - 14 → 1 - 26 19 14 - 19 - 1 - 14 → 1 - 26 19 0 3 19 - 1 0 → 1 - 26 19 0 1 - 1 0 →

1 0 0 1 - 1 0

Ou seja, s = - 1 e t = 0 . Substituindo s e t nas equações:

P r 1 = ( - 1 ,   2 , 0 )

P r 2 = ( - 1 , 2 ,   0 )

P r 1 P r 2 →   = ( 0 ,   0 ,   0 )  

Como o resultado foi um vetor nulo, ele não pode ser tomado como o vetor diretor da reta desejada. Assim, devemos encontrar o vetor diretor com base no produto vetorial entre os vetores diretor das retas r1 e r2 dadas:

v → =   V 1 × V 2

v → = det i j k 1 3 4 1 2 3

Realizando a conta do determinante:

v → = 9i + 4j + 2k – 3k -3j -8i

v → = 1i + 1j -1k

Ou seja, V = (1, 1, -1) é o vetor diretor da reta desejada. Além disso, vamos tomar as coordenas de P r 1 encontradas como o ponto inicial da reta. Assim:

x =   - 1 + t y =   2 + t z =   - t

Resposta

x =   - 1 + t y =   2 + t z =   - t

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