Enunciado

b) Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π , os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2.

Passo 1

Vamos, inicialmente, determinar 3 pontos:

A, a interseção do eixo z com o plano z = 2;

B, a interseção das retas r e t, do exercício 19 (a);

C, a interseção das retas s e t, do exercício 19 (a).

A = (0, 0, 2)

B = (0, 1, 2)

C = (1, 0, 2)

Podemos, ainda, determinar vetores a partir desses pontos e da origem O = (0, 0, 0).

O A → = 0 ,   0 ,   2 - 0,0 , 0 = ( 0 ,   0 ,   2 )

O B → = 0 ,   1 ,   2 - 0,0 , 0 = 0 ,   1 ,   2

O C → = 1 ,   0 ,   2 - 0,0 , 0 = 1 ,   0 ,   2

Passo 2

Podemos calcular o volume desejado a partir da seguinte fórmula:

v o l =   1 6 O A → ∙ ( O B → × O C → )

Resolvendo primeiro o produto vetorial:

O B → × O C →

V = det i j k 0 1 2 1 0 2

Realizando a conta do determinante:

V = 2i + 2j + 0k – 1k -0j -0i

V = 2i + 2j – 1k

Passo 3

Resolvendo, então, o produto escalar entre O A → e V:

O A → ∙ V = 0 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 2 ∙ - 1 = 2

Como está em módulo na expressão, visto que não podemos ter volume negativo:

O A → ∙ V = 2

Multiplicando por 1 6 :

1 6 O A → ∙ V = 2 6 =   1 3

Resposta

O volume desejado é igual a 1 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância entre dois planos paralelos π 1 : a x + b y + c z + d 1 = 0eπ 2 : a x + b y + c z + d 2 = 0 é d i s t π 1 , π 2 = d 2 - d 1 a 2 + b 2 + c 2 .
c) Determine a área da face do tetraedro contida no plano π .
Ache equações paramétricas da reta r ' , simétrica da reta r : x - 1 = y = z em relação ao plano x + y - z - 3= 0 .
Dê uma equação do plano γ , simétrico de α :x + y - z + 5 = 0 em relação ao plano β :x + y - z - 4 = 0 .