Enunciado

3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) f ' = 0 ;

b) f n = 0

c) f ' = f

d) f ' = a f   a   ∈ R .

Passo 1

b) Essa é um pouco mais abstrata de se pensar, mas vamos aos poucos, ta?

Vamos passar primeiro pro operador:

D n f t = 0

Passo 2

Repare que se pegarmos uma função contante, isso vai ser sempre verdade, ne?

Tipo:

D n C = 0

Pra qualquer n .

Mas e se não for constante??? Hmmm... Se for uma reta?

f t = a 1 t + a 0

Tenho que derivar quantas vezes pra ficar zero??

f ' t = a 1

f ' ' t = 0

E se for uma equação de segundo grau?

f t = a 2 t 2 + a 1 t + a 0

Tenhos que derivar quantas vezes pra zerar?

f ' t = 2 a 2 t + a 1

f ' ' t = 2 a 2

f ' ' ' t = 0

Hmmmm.... achamos um padrão.

Passo 3

Vamos escrever esse padrãozinho...

Pra dar zero, se vamos derivar n vezes, precisamos de uma função elevada a n - 1 ...

f t = a n - 1 t n - 1 + … + a 1 t + a 0

E a solução geral vai ser essa. (pra qualquer valor de n )

Resposta

f t = a n - 1 t n - 1 + … + a 1 t + a 0

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