Enunciado

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:

  1. T(x, y) = (x + y, x - y);

Passo 1

Primeiro, vamos colocar em forma de matriz de T   x ,   y =   x   +   y ,   x   -   y que seria

1 1 1 - 1

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

1 1 1 - 1 - λ 0 0 λ = 1 - λ 1 1 - 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Ah, uma coisa importante: quando é uma matriz normal podemos escrever em parênteses (), ou em colchetes [], mas quanto é determinante deve ser escrito em barras!

1 - λ 1 1 - 1 - λ = 0

Então calculando o determinante temos a equação característica

1 - λ - 1 - λ - 1 = 0 → λ 2 - 2 = 0

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Vamos fatorar

λ 2 = 2 → λ 2 = 2 → λ = ±   2

Então os valores próprios são

λ 1 = 2   e   λ 2 = - 2

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 1 = 2

1 - λ 1 1 - 1 - λ ∼   1 - 2 1 1 - 1 - 2

Colocando no sisteminha de equações

1 - 2 1 1 - 1 - 2 x 1 x 2 = 0 0

Simplificando

1 - 2 1 0 1 - 1 - 2 0 ∼ 1 - 1 - 2 0 0 0 0

Então

x 11 + - 1 - 2 x 22 = 0 → x 11 = 1 + 2   t x 22 = t

Logo o vetor é

1 + 2 t ,   1 t → t 1 + 2 ,   1 → ( 1 + 2 ,   1 )

Passo 4

Agora vamos para λ 2 = - 2

1 - λ 1 1 - 1 - λ ∼   1 + 2 1 1 - 1 + 2

Colocando no sisteminha de equações

1 + 2 1 1 - 1 + 2 x 1 x 2 = 0 0

Simplificando

1 - 2 1 0 1 - 1 - 2 0 ∼ 1 - 1 + 2 0 0 0 0

Então

x 1 + - 1 + 2 x 2 = 0 → x 1 = 1 - 2   t x 2 = t

Logo o vetor é

1 - 2 t ,   1 t → t 1 - 2 ,   1 → ( 1 - 2 ,   1 )

Resposta

λ 1 = 2 ;   1 + 2 ,   1

λ 2 = - 2 ;   ( 1 - 2 ,   1 )

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