1.

Calcule os autovalores e os autoespaços associados de:

a   A = 3 0 0 0 3 2 0 - 1 0

b   A = 0 1 0 0

c   A = 2 - 1 0 0 1 - 1 0 1 3

Resolução
2.

Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:

a   A = 2 1 3 4

b   A = 3 - 1 - 3 0 2 - 3 0 0 - 1

c   A = 3 3 - 2 0 - 1 0 8 6 - 5

d   A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Resolução
3.

Quais são os autovalores e autovetores próprios da matriz identidade?

Resolução
4.

Considere as seguintes afirmações:

I Os autovalores de uma matriz são os mesmos da sua forma escalonada.

I I Se λ ≠ 0 é autovalor de A , uma matriz invertível, então λ - 1 é autovalor de A - 1 com os mesmos autovetores de A .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

Resolução
5.

Os autovalores da matriz

são:

(a) -1 e 3

(b) -1 e 4

(c) -2 e 2

(d) -2 e 3

Resolução
6.

Seja A   uma matriz 2 × 2 . Assinale a alternativa FALSA:

( a ) A pode não possuir autovetores

( b ) Se det ⁡ A < 0 então os autovalores de A podem ser 0 e 2

( c ) A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a matriz identidade

( d ) Se det ⁡ A = 0 então 0 é autovalor

Resolução
7.

Os autovalores da matriz 3 - 2 4 - 3 são:

a   3 e - 1 3

b   3 e - 1

c   1 e - 1 3

d   1 e - 1

Resolução
8.

Seja A uma matriz 2 × 2 .

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   A pode ter apenas um autovetor

b   A sempre possui dois autovetores linearmente independentes

c   A sempre possui dois autovetores

d   A pode não ter autovetores

Resolução
9.

Considere

A = 1 0 0 2 0 0 1 3 0 ; e 2 ^ = 0 1 0

Marque a alternativa VERDADEIRA:

a   A possui três autovalores distintos

b   A é invertível

c   O núcleo de A tem dimensão 2

d   O sistema A x → = e 2 ^ não possui solução

Resolução
10.

Seja

A = - 2 1 - 1 0 5 2 0 0 - 1

O vetor - 2 ,   α ,   β é um autovetor associado ao autovalor 5 .

O valor de α + β é:

( a ) - 8

( b ) - 14

( c ) - 12

( d ) - 10

Resolução
11.

Seja A uma matriz 2 × 2 com polinômio característico p λ = 1 - λ 2 . Considere as afirmações:

  1. A = I
  2. N u c A - I = R 2

a   I é falsa, mas I I é verdadeira.

b     I e I I são falsas.

c   I e I I são verdadeiras.

d   I é verdadeira, mas I I é falsa.

Resolução
12.

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

2 - 3 0 - 3 2 0 1 - 1 6

a   14

b   9

c   13

d   12

Resolução
13.

Seja v → = 1 , α um autovetor da matriz A = 0 1 1 1 associado ao maior dos autovalores de A . Então α vale:

a   1 - 5 2

b   1 + 5 2

c   5 - 1 2

d   1 + 5 2

Resolução
14.

Uma matriz 3 × 3 é conhecida parcialmente (apenas algumas de suas entradas):

A = 1   8 2 8     12  

Se D i m N A = 2 , assinale um autovalor de A :

a   11

b   45

c   25

d   33

Resolução
15.

A matriz A = 5 0 1 0 2 0 1 0 5 possui os autovalores 2 , 4 e 6 . Os autovetores de A associados ao seu maior autovalor são da forma:

a   t 1,0 , - 1 ,   t ≠ 0

b   t 2,0 , 2 ,   t ≠ 0

c   t 0,2 , 0 ,   t ≠ 0

d   t 0,1 , 0 ,   t ≠ 0

Resolução
16.

Sabendo que os autovalores da transformação associada à matriz A = 2 1 0 - 1 0 0 - 1 1 2 são λ 1 = 1 e λ 2 = 2 , então as dimensões de seus autoespaços, V λ 1 e V λ 2 , são respectivamente:

a   2 e 2

b   1 e 2

c   2 e 1

d   1 e 1

Resolução
17.

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

4 2 0 0 - 2 0 0 0 3

a   11

b   7

c   10

d   9

Resolução
18.

Os autovalores da matriz 3 - 1 2 0 são?

a   2 e 2 3

b   3 e 2 3

c   2 e 1

d   3 e 1

Resolução
19.

Os autovalores da matriz - 2 4 - 8 10 são:

( a ) 2 e 7

( b ) 3 e 8

( c ) 2 e 6

( d ) 3 e 6

Resolução
20.

Calcule os autovalores da matriz 2 2 0 0 5 0 - 8 4 - 1

a   3 , 6 e 0

b   5 , 2 e - 1

c   4 , 1 e - 1

d   3 , 4 e 0

Resolução
21.

Considere a matriz A = 1 1 0 4 2 0 0 0 3 . Quais são os seus autovalores?

a   3 , 17 2 + 3 2 e 3 2 - 17 2

b   3 , 5 2 + 3 2 e 3 2 - 5 2

c   3 , 3 e 0

d   3 , 13 2 + 3 2 e 3 2 - 13 2