Determinar o polinômio característico e os valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base e 1 ,   .   .   .   , e n por T e i = λ i ∈ R .  

Passo 1

Fala aí! tudo certo?

Nesse problema temos que determinar o polinômio característico e os autovalores do operador linear T : V → V de R 4 cuja base é e 1 ,   .   .   .   , e n por T e i = λ i ∈ R .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I t ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ,     I t = t 0 ⋯ 0 0 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ t

O polinômio característico de uma matriz é justamente

p t = det ⁡ A - I t

Sendo que os autovalores dessa matriz são as raízes desse polinômio, ou seja:

det ⁡ ( A - I t ) = 0

Saca só!

Passo 2

Se T e i = λ i ∈ R , a base será:

e 1 = λ 1 ,   0 ,   .   .   .   ,   0

e 2 = 0 ,   λ 2 , .   .   .   ,   0

e n = 0 ,   0 ,   .   .   .   ,   λ n

Sendo que colocamos elas em nas colunas, assim, numa matriz qualquer

λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n

Encontramos a matriz identidade, gora vamos subtrair a Matriz

λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n - t 0 ⋯ 0 0 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ t = λ 1 - t 0 ⋯ 0 0 λ 2 - t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ 4 - t

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Como é uma matriz diagonar, se multiplicarmos os valores já será essa a equação característica

p t = λ 1 - t λ 2 - t .   .   . λ n - t

Assim os valores próprios de T são:

λ 1 ,   λ 2 ,   .   .   .   ,   λ n

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

p t = λ 1 - t λ 2 - t .   .   . λ n - t

λ 1 ,   λ 2 ,   .   .   .   ,   λ n

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