Enunciado

Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,   .   .   .   , e n } por T e i = λ i ∈ R .  

Passo 1

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I t ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1         e   I t = t 0 ⋯ 0 0 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ t

Passo 2

A base será

e 1 = λ 1 ,   0 ,   .   .   .   ,   0

e 2 = 0 ,   λ 2 , .   .   .   ,   0

e n = 0 ,   0 ,   .   .   .   ,   λ n

Sendo que colocamos elas em nas colunas, assim, numa matriz qualquer

λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n

Encontramos a matriz identidade, gora vamos subtrair a Matriz

λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n - t 0 ⋯ 0 0 t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ t = λ 1 - t 0 ⋯ 0 0 λ 2 - t ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ 4 - t

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Como é uma matriz diagonar, se multiplicarmos os valores já será essa a equação característica

λ 1 - t λ 2 - t .   .   . ( λ n - t )

Assim os valores próprios de T

λ 1 ,   λ 2 ,   .   .   .   ,   λ n

Resposta

λ 1 ,   λ 2 ,   .   .   .   ,   λ n

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