Enunciado

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = - 1 - 4 14 2 - 7 14 2 - 4 11

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = - 1 - 4 14 2 - 7 14 2 - 4 11 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = - 1 - λ - 4 14 2 - 7 - λ 14 2 - 4 11 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → - 1 - λ - 4 14 2 - 7 - λ 14 2 - 4 11 - λ = 0 → - λ 3 + 3 λ 2 + 45 λ + 81 = 0

- λ + 3 λ + 3 λ - 9 = 0

λ 1 = - 3 e λ 2 = 9

Temos que os autovalores de A são - 3 e 9 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor - 3 :

T v = λ v → - 1 - 4 14 2 - 7 14 2 - 4 11 x y z = - 3 ⋅ x y z → - x - 4 y + 14 z 2 x - 7 y + 14 z 2 x - 4 y + 11 z = - 3 x - 3 y - 3 z

Temos então o sistema:

- x - 4 y + 14 z = - 3 x 2 x - 7 y + 14 z = - 3 y 2 x - 4 y + 11 z = - 3 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

2 x - 4 y + 14 z = 0 → x = 2 y - 7 z

2 x - 4 y + 14 z = 0

2 x - 4 y + 14 z = 0

Pronto, assim temos:

2 y - 7 z , y , z = y 2,1 , 0 + z - 7,0 , 1

Passo 4

Para os autovetores associados ao autovalor 9 :

T v = λ v → - 1 - 4 14 2 - 7 14 2 - 4 11 x y z = 9 ⋅ x y z → - x - 4 y + 14 z 2 x - 7 y + 14 z 2 x - 4 y + 11 z = 9 x 9 y 9 z

Temos então o sistema:

- x - 4 y + 14 z = 9 x 2 x - 7 y + 14 z = 9 y 2 x - 4 y + 11 z = 9 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

- 10 x - 4 y + 14 z = 0

2 x - 16 y + 14 z = 0 → x = 8 y - 7 z → x = 8 y - 14 y + 7 x → x = y

2 x - 4 y + 2 z = 0 → z = 2 y - x → z = 2 y - y → z = y

Pronto, assim temos:

y , y , y = y 1,1 , 1

Então os autovetores são da forma:

v 1 = 2,1 , 0 - 7,0 , 1 e v 2 = 1,1 , 1

Resposta

λ 1 = - 3 e λ 2 = 9

v 1 = 2,1 , 0 - 7,0 , 1 e v 2 = 1,1 , 1

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