Enunciado

Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:

a) 1 1 2 0 1 0 0 1 3

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   1 - x 1 2 0 1 - x 0 0 1 3 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 1 - x 1 2 0 1 - x 0 0 1 3 - x

det = ( 1 - x ) ( 1 - x ) (   3 - x ) + 0 + 0 - 0 - 0 - 0

det = ( 1 - x ) ( 1 - x ) (   3 - x )

Igualando a zero e resolvendo:

( 1 - x ) ( 1 - x ) (   3 - x ) = 0

x = 1

x = 3

Passo 2

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

0 1 2 0 0 0 0 1 2

Escalonando:

0 1 2 0 0 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = b - 2 a a

Assim, temos

b(1, 0, 0) + a(0, -2, 1)

Substituindo x = 3 na matriz ( A - x I ):

- 2 1 2 0 - 2 0 0 1 0

Escalonando:

1 0 - 1 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a 0 a

Assim, temos

a(1, 0, 1)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, temos que:

P =   1 0 - 1 0 - 2 0 0 1 1 e D =   1 0 0 0 1 0 0 0 3

Resposta

P =   1 0 - 1 0 - 2 0 0 1 1

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Nos Exercícios 12-15, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P . A = 1 0 0 0 1 1 0 1 1
Em cada parte, calcule a potência indicada deA = [[[1,-,2,8],[0,-,1,0],[0,0,-,1]]]
Encontre A^n se n for um inteiro positivo e:A = [[[3,-,1,0],[-,1,2,-,1],[0,-,1,3]]]