Enunciado

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor.

d) 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 0 0 1 0 1 1

Passo 1

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   2 - x 2 3                   4 0 2 - x 3                   2 0 0 0 0 1 - x 0 1 1 - x

Passo 2

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 2 - x 2 3                   4 0 2 - x 3                   2 0 0 0 0 1 - x 0 1 1 - x

det = ( 2 - x ) ( 2 - x ) ( 1 - x ) ( 1 - x )

Igualando a zero e resolvendo:

( 2 - x ) ( 2 - x ) ( 1 - x ) ( 1 - x ) = 0

x = 1

x = 2

Passo 3

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

1 2 3   4 0 1 3   2 0 0 0 0 0 0 1 0

Escalonando:

1 0 - 3   0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 3 a - 3 a a 0

Assim, temos

a(3, -3, 1, 0)

Substituindo x = 2 na matriz ( A - x I ):

0 2 3   4 0 0 3   2 0 0 0 0 - 1 0 1 - 1

Escalonando:

0 1 0   0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a 0 0 0

Assim, temos

a(1, 0, 0, 0)

Resposta

V1 = (3, -3, 1, 0)

V2 = (1, 0, 0, 0)

Exercícios de Livros Relacionados

SejaA = [[[4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]]] Encontre os autovalores de A.
No Exercício 2, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 4 - 1 2 4 , B = 4 1 2 4
Seja A uma matriz 6 x 6 com equação característica λ 2 λ - 1 λ - 2 3 = 0 . Quais são as possíveis dimensões dos autoespaços de A?
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Para cada valor de λ , encontre o posto da matriz λ I - A .
Prove que matrizes semelhantes possuem o mesmo traço.