Enunciado

Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P

A = - 1 4 - 2 - 3 4 0 - 3 1 3

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = - 1 4 - 2 - 3 4 0 - 3 1 3

Primeiro vamos determinar os autovalores da matriz

det ⁡ λ I - A = 0

λ + 1 - 4 2 3 λ - 4 0 3 - 1 λ - 3 = 0

λ 3 - 6 λ 2 + 11 λ - 6 = 0

( λ - 1 ) ( λ 2 - 5 λ + 6 )

( λ - 1 ) λ - 2 ( λ - 3 ) = 0

Então, os autovalores são:

λ 1 = 1 λ 2 = 2 λ 3 = 3

Para todos os autovalores, a multiplicidade algébrica é igual a 1 , pois λ - 1 ,   λ - 2 e   ( λ - 3 ) são elevados a 1 .

Também sabemos que cada autovalor deve ter ao menos um auto vetor. E também sabemos que a multiplicidade geométrica é igual ao número de autovetores, e que a multiplicidade geométrica é sempre menor ou igual a multiplicidade algébrica.

Por consequência, todos os autovalores devem ter multiplicidade geométrica igual a 1 .

Então, como a multiplicidade geométrica e algébrica são iguais, a matriz é diagonalizável.

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

λ + 1 - 4 2 3 λ - 4 0 3 - 1 λ - 3 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ 1 = 1

2 - 4 2 3 - 3 0 3 - 1 - 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos dividir a primeira linha por dois, e a segunda linha por três.

1 - 2 1 1 - 1 0 3 - 1 - 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos pegar a primeira linha e vamos subtraí-la da segunda linha. E vamos pegar a primeira linha, multiplicar por 3 e subtrair da terceira linha:

1 - 2 1 0 1 - 1 0 5 - 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos pegar a segunda linha, multiplicar por 5, e subtrair da terceira linha; Vamos pegar a segunda linha, multiplicar por 2 e somar na primeira linha:

1 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = t x 2 = t x 3 = t

O autovetor associado é:

λ 1 = 1 ⇒ x → 1 = t 1 1 1

A base do autovetor é:

p → 1 = 1 1 1

Passo 3

Para λ 2 = 2

3 - 4 2 3 - 2 0 3 - 1 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira:

3 - 4 2 0 2 - 2 0 3 - 3 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A primeira e a segunda linha são claramente múltiplos entre si. Então vamos dividir a segunda linha por 2. Depois vamos multiplicar a segunda linha por 3 e subtrair na terceira linha:

3 - 4 2 0 1 - 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos multiplicar a segunda linha por 4 e somar na primeira linha:

3 0 - 2 0 1 - 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = 2 t x 2 = 3 t x 3 = 3 t

O autovetor associado é:

λ 2 = 1 ⇒ x → 1 = t 2 3 3

A base do autovetor é:

p → 2 = 2 3 3

Passo 4

Para λ 3 = 3

4 - 4 2 3 - 1 0 3 - 1 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos pegar a segunda linha e subtrair da terceira linha. E vamos novamente pegar a segunda linha, multiplicar por 4 e subtrair da primeira linha:

- 8 0 2 3 - 1 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = t x 2 = 3 t x 3 = 4 t

O autovetor associado é:

λ 3 = 1 ⇒ x → 1 = t 1 3 4

A base do autovetor é:

p → 1 = 1 3 4

Passo 5

A matriz P é dada pela composição dos autovetores:

P = p → 1 p → 2 p → 3 = 1 1 1 2 3 3 1 3 4

E a matriz diagonal é igual a diagonal de autovalores:

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

Resposta

A matriz é diagonalizável.

P = x → 1 x → 2 x → 3 = 1 1 1 2 3 3 1 3 4

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

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