Enunciado

Ache equações paramétricas da reta r ' , simétrica da reta r : x - 1 = y = z em relação ao plano x + y - z - 3   = 0 .

Passo 1

Galerinha, nessa questão temos que seguir o seguinte roteiro:

  1. Escrever as equações paramétricas da reta r : x - 1 = y = z .
  2. Encontrar o vetor diretor da reta e determinar se a reta é concorrente ao plano. Se sim, encontrar o ponto de interseção.
  3. Encontrar o vetor diretor da nova reta.

Passo 2

Então, vamos começar com os dois primeiros pontos do roteiro. A equação paramétrica da reta r são

x - 1 = y = z = λ ⇒ r : x = λ + 1 ,   y = λ ,   z = λ

Com isso, é fácil identificar que o ponto ( 1,0 , 0 ) pertence a reta r e que o vetor diretor da reta é v → r = ( 1,1 , 1 ) . Além do mais, o vetor normal do plano é dado por n → = ( 1,1 , - 1 ) . Então, o produto interno dos dois vetores é

( 1,1 , 1 ) ⋅ ( 1,1 , - 1 ) = 1 ≠ 0

Com isso, vemos que a reta é concorrente ao plano. Agora, vamos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano e tentar determinar para que valor λ a reta cruza o plano:

x + y - z - 3   = 0 ⇒ λ + 1 +   λ - λ - 3 = 0 ⇒ λ - 2 = 0 ⇒ λ = 2

O ponto λ = 2 é dado por R = ( λ + 1 , λ , λ ) = ( 3,2 , 2 ) . Esse ponto pertence tanto à reta quanto ao plano. Um detalhe muito importante é que a reta r ' cruza o plano exatamente nesse ponto. Então, temos

r ' : x = l λ + 3 ,   y = m λ + 2 ,   z = n λ + 2

Passo 3

O vetor normal do plano cruza o vetor diretor da reta em algum momento. Vamos dizer que isso ocorre quando λ = 0 , ou seja, no ponto ( 1,0 , 0 ) . Com isso, podemos escrever o vetor normal ao plano da seguinte forma parametrizada:

n → = ( 1 + t , t , - t )

onde t = 0 corresponde ao ponto P = ( 1,0 , 0 ) . Ou seja, n → e v → r se cruzam no ponto ( 1,0 , 0 ) . Ok, agora vamos procurar o ponto onde n → = ( 1 + t , t , - t ) cruza o plano

x + y - z - 3   = 0 = 1 + t + t - ( - t ) - 3 = 0 ⇒ 3 t - 2 = 0 ⇒ t = 2 3

Se em t = 0 , o vetor normal é concorrente a v → r e t = 2 3 ele é concorrente ao plano. Isso corresponde ao ponto

S = ( 1 + 2 3 , 2 3 , - 2 3 ) = ( 5 3 , 2 3 , - 2 3 )

do plano. Do ponto de interseção da reta com o plano até o ponto de interseção do vetor normal com o plano, temos

R S → = S - R = ( 5 3 , 2 3 , - 2 3 ) - ( 3,2 , 2 ) = ( - 4 3 , - 4 3 , - 8 3 )

Por outro lado, de S até P , temos

P S → = S - P = ( 5 3 , 2 3 , - 2 3 ) - ( 1,0 , 0 ) = ( 2 3 , 2 3 , - 2 3 )

Assim, o vetor diretor da segunda reta será paralelo a

R S → + P S → = ( - 4 3 , - 4 3 , - 8 3 ) + ( 2 3 , 2 3 , - 2 3 ) = ( - 2 3 , - 2 3 , - 10 3 )

Nós podemos escolher o fator de proporcionalidade em v → r = α ( R S → + P S ) → . Para simplificar o resultado, vamos escolher α = - 3 2 . Assim, ficamos com v → r = ( 1,1 , 5 ) e a equação paramétrica de r ' será:

r ' : x = λ + 3 ,   y = λ + 2 ,   z = 5 λ + 2

Resposta

r ' : x = λ + 3 ,   y = λ + 2 ,   z = 5 λ + 2

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